2 курс. Ден. ФК, УП, ЕП 12 / Економіко математичні методи та моделі (Оптимізаційні методи) Ч.1 Ден. 2010

ЗМІСТ НАВЧАЛЬНОЇ ДИСЦИПЛІНИ «ЕКОНОМІКО-МАТЕМАТИЧНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ»

Модуль І. Оптимізаційні методи та моделі Змістовий модуль № 1. Методи оптимізації на основі задачі

лінійного програмування

Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання

економіки

Об’єкт, предмет, цілі, завдання та структура курсу.

Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів.

Основні характеристики економічної системи як об'єкта моделювання. Поняття моделі. Основні етапи процесу моделювання.

Класифікація економіко-математичних моделей.

Тема 2. Оптимізаційні економіко-математичні моделі

Економічна та математична постановка оптимізаційних задач. Вибір критерію оптимізації, функціональних та не функціональних обмежень задачі.

Класифікація моделей і методів розв’язування задач математичного програмування.

Приклади економічних задач, які доцільно розв’язувати, застосуючи методи та моделі математичного програмування. Історія розвитку та сучасний стан дослідження операцій.

Тема 3. Задача лінійного програмування та методи її

розв'язування

Економічна та математична постановка задач лінійного програмування (ЛП). Використовувана система гіпотез. Цільова функція задачі ЛП. Визначення множини допустимих планів задачі ЛП.

10

Оптимальний план задачі ЛП. Канонічна форма лінійної оптимізаційної моделі.

Геометрична інтерпретація множини допустимих розв'язків задачі лінійного програмування. Графічне розв'язання задач лінійного програмування. з двома змінними.

Симплексний метод розв’язування задач ЛП.

Симплекс-таблиця та правила її заповнення. Алгоритм симплексметоду. Збіжність симплекс-методу. М-метод, інші методи розв’язування задач лінійного програмування.

Тема 4. Теорія двоїстості та аналіз лінійних моделей

оптимізаційних задач

Основна та двоїста задачі як пара взаємоспряжених задач ЛП. Правила побудови двоїстих задач. Економічна інтерпретація пари

двоїстих задач. Основні теореми двоїстості задач та їх економічний зміст.

Післяоптимізаційний аналіз задач ЛП. Аналіз розв’язків лінійних економіко-математичних моделей.

Оцінка рентабельності продукції, яка виробляється, і нової продукції.

Аналіз обмежень дефіцитних і недефіцитних ресурсів. Аналіз коефіцієнтів цільової функції. Аналіз коефіцієнтів технологічної матриці для базисних і вільних змінних.

Приклади практичного використання двоїстих оцінок у аналізі економічних задач.

Двоїстий симплексний метод.

Тема 5. Транспортна задача

Постановка транспортної задачі, особливості її структури та її властивості. Знаходження опорних планів транспортної задачі.

11

Метод потенціалів знаходження розв’язків транспортної задачі. Економічний аналіз транспортних задач.

Застосування транспортних моделей для розв’язування деяких економічних задач.

Змістовий модуль № 2. Спеціальні методи математичного програмування в оптимізації процесів й прийняття рішень

Тема 6. Цілочислове програмування

Область застосування цілочислових задач ЛП у плануванні й управлінні виробництвом. Математична постановка цілочислових задач лінійного програмування.

Геометрична інтерпретація розв’язків на площині.

Методи розв’язування цілочислових задач ЛП. Метод Гоморі. Метод віток і меж.

Тема 7. Нелінійні оптимізаційні моделі економічних систем

Економічна сутність і постановка та моделі окремих типів задач нелінійного програмування (НЛП).

Задачі дробово-лінійного програмування (ДЛП). Основні методи розв’язування задач ДЛП.

Метод оптимізації задач НЛП на базі використання множників Лагранжа та їх економічна інтерпретація.

Опукле програмування. Необхідні та достатні умови існування сідлової точки. Теорема Куна-Таккера.

Деякі з основних методів розв’язування задач НЛП. Методи аналізу оптимального плану задачі НЛП.

Економічна постановка та математичні моделі окремих задач квадратичного програмування (КП). Основні методи розв’язування задач КП.

12

Тема 8. Динамічне програмування

Загальна постановка задачі динамічного програмування та її геометрична інтерпретація. Принцип оптимальності.

Знаходження розв'язку економічних задач методом динамічного програмування.

Деякі економічні задачі, які розв’язуються методами динамічного програмування

Тема 9. Теорія ігор і прийняття рішень

Основні поняття теорії ігор. Приклади ігор. Прийняття рішень в умовах ризику. Ігри з нульовою сумою. Мішані стратегії в матричних іграх.

Зведення матричної гри до задачі лінійного програмування. Зведення задачі лінійного програмування до матричної гри.

Модуль ІІ. Економетрика Змістовий модуль № 1. Класичні лінійні регресійні моделі

Тема 1. Принципи побудови економетричних моделей. Парна

лінійна регресія

Сучасні методологічні основи економетричного моделювання. Статистична база економетричних моделей. Основні типи економетричних моделей, їх зв’язок з іншими типами математичних моделей. Етапи економетричного аналізу економічних процесів та явищ.

Класична лінійна модель парної регресії. Оцінка параметрів лінійної регресії за допомогою методу найменших квадратів (МНК). Основні припущення у парній лінійній моделі. Аналіз варіації залежної змінної у простій регресії. Коефіцієнти кореляції та детермінації. Теорема Гауса-Маркова. Оцінка дисперсії випадкової величини помилки

ε. Перевірка простої регресійної моделі на адекватність. Статистичні властивості МНК-оцінок параметрів парної регресії. Перевірка

13

статистичної значимості параметрів регресії. Коефіцієнт еластичності. Надійні інтервали для параметрів регресії. Прогнозування за моделями простої лінійної регресії: точкова та інтервальна оцінки прогнозу значень показника.

Тема 2. Лінійні моделі множинної регресії

Загальний вигляд багатофакторної лінійної економетричної моделі. Основні припущення у багатофакторному регресійному аналізі. Оцінювання параметрів множинної лінійної регресії за методом найменших квадратів. Аналіз варіації залежної змінної у множинній регресії. Коефіцієнт множинної кореляції та детермінації. Часткова кореляція. Теорема Гауса-Маркова. Властивості методу найменших квадратів. Оцінка дисперсії випадкової величини помилки ε. Перевірка множинної регресійної моделі на адекватність. Статистичні властивості МНК-оцінок параметрів множинної регресії. Перевірка статистичної значимості параметрів регресії. Частинні коефіцієнти еластичності. Надійні інтервали для параметрів регресії та прогнозних значень показника. Приклади практичного застосування багатофакторної регресії.

Мультиколінеарність та її вплив на оцінки параметрів регресії. Методи визначення мультиколінеарності та способи її усунення.

Змістовий модуль № 2. Різні аспекти економетричного моделюванняТема 3. Нелінійні моделі та перетворення змінних

Специфікація моделі. Криві зростання. Найпростіші перетворення нелінійних парних моделей у лінійні: експоненціальна, степенева, квадратична функції; модифікована експонента, крива Гомперця, логістична крива. Коефіцієнти еластичності в нелінійних моделях. Приклади застосування нелінійних моделей на практиці.

14

Нелінійні багатофакторні моделі та їх перетворення в лінійні. Приклади практичного застосування багатофакторної регресії. Мультиплікативна виробнича функція.

Тема 4. Фіктивні змінні в економетричних моделях

Урахування якісних ознак показника за допомогою фіктивних змінних. Порівняння регресійних моделей за допомогою тесту Чоу. Незалежність і взаємодія якісних ознак. Фіктивні змінні для вільного члену та коефіцієнту нахилу регресії. Стандартні помилки і перевірка гіпотез.

Використання фіктивних змінних у сезонному аналізі.

Тема 5. Узагальнені економетричні моделі

Поняття гомоскедасичності та гетероскедастичності. Вплив гетероскедастичності на властивості оцінок параметрів. Тестування наявності гетероскедастичності: графічний метод, тест Спірмана.

Узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена) для оцінки параметрів лінійної економетричної моделі з гетероскедастичними залишками. Формування матриці S. Визначення оператора оцінок та відповідної коваріаційної матриці. Приклад застосування методу Ейткена. Прогноз.

Тема 6. Економетричні моделі динаміки

Природа й наслідки автокореляції. Методи визначення автокореляції.

Моделі з автокорельованими залишками. Методи оцінювання параметрів: Ейткена, перетворення вихідної інформації, КочренаОркатта, Дарбіна.

Багатофакторні лінійні економетричні моделі динаміки та особливості їх побудови.

15

Поняття лагу й лагових змінних. Моделі розподіленого лагу. Взаємна кореляційна функція. Лаги залежної і незалежних змінних. Методи оцінювання параметрів за схемою Койка, адаптивних сподівань, часткового коригування.

Приклади автокореляційних моделей. Прогноз.

16

2. РОЗПОДІЛ БАЛІВ, ЯКІ ПРИСВОЮЮТЬСЯ СТУДЕНТАМ

4-й семестр:

Модуль 1

Модульний

Модуль 2

(поточне тестування)

контроль № 1

(ІНДЗ)

Сума

Іспит

50

10

20

Змістовий

Змістовий

№ 1

№ 2

модуль №1

модуль №2

10

80

20

10

10

Т1-Т4

Т5

Т6-Т7

Т8-Т9

20

10

10

10

Переведення даних 100-бальної шкали оцінювання в національну шкалу

та шкалу за системою ECTS здійснюється в такому порядку:

Оцінка

Оцінка при

Оцінка при

за

підсумковому

підсумковому

шкалою

контролі у

контролі у

Оцінка за шкалою ECTS

ВНЗ

формі

формі заліку

екзамену

Відмінне знання

90-100

5 (відмінно)

А

матеріалу лише з

незначною

(відмінно)

кількістю

помилок

Вище середнього

80-89

В (дуже

стандарту, але з

деякими

добре)

поширеними

4 (добре)

Зараховано

помилками

Загалом добрі

70-79

С (добре)

знання, але з

помітними

помилками

60-69

D

Пристойно, але із

значними

(задовільно)

3 (задовільно)

недоліками

50-59

Е

Відповідає

мінімальним

(достатньо)

вимогам

2

Недостатньо:

21-49

(незадовільно)

необхідно

з можливістю

FX

доопрацювати і

повторного

повторно скласти

складання

Не зараховано

залік чи екзамен

2

0-20

(незадовільно)

F

з обов’язковим

повторним

курсом

17

3. МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

МОДУЛЬ І. ОПТИМІЗАЦІЙНІ МЕТОДИ ТА МОДЕЛІ

Змістовий модуль № 1. Методи оптимізації на основі задачі лінійного програмування

Тема 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки

Мета: опрацювання питань згідно запропонованого плану вивчення теми, визначення математичного моделювання як метода наукового пізнання економічних явищ і процесів, основних етапів процесу моделювання.

План вивчення теми

1.Об’єкт, предмет, цілі, завдання та структура курсу.

2.Математичне моделювання як метод наукового пізнання економічних явищ і процесів.

3.Основні характеристики економічної системи як об'єкта моделювання. Поняття моделі. Основні етапи процесу моделювання.

4.Класифікація економіко-математичних моделей.

Методичні рекомендації до самостійної роботи

Для аналізу й синтезу систем управління в економіці використовуються різноманітні економіко-математичні методи та моделі. Важливими є умова та особливості їх застосування залежно від мети дослідження, прийнятої системи гіпотез тощо.

Моделювання – основний специфічний метод науки, що застосовується для аналізу та синтезу систем управління. Це особливий пізнавальний спосіб, коли суб'єкт дослідження замість безпосереднього досліджуваного об'єкта пізнання обирає чи створює подібний до нього

18

допоміжний об'єкт – образ чи модель, досліджує його, а отримані нові знання переносить на об'єкт-оригінал. Завдяки активній ролі суб'єкта сам процес моделювання має творчий, активний характер.

У наш час математичне моделювання вступає в третій, принципово важливий етап свого розвитку, «вбудовуючись» у структуру так званого

інформаційного суспільства.

Без володіння інформаційними «ресурсами» не можна й думати про розв'язання дедалі різноманітніших проблем, що постають перед світовою спільнотою. Однак інформація як така здебільшого мало що дає для аналізу й прогнозу, для прийняття рішень і контролю за їх виконанням. Необхідні надійні способи переопрацювання інформаційної «сировини» в готовий «продукт», тобто в точне знання. Історія методологи математичного моделювання економіки переконує: вона може й повинна бути інтелектуальним ядром інформаційних технологій, усього процесу інформатизації суспільства.

Як методологія та інструментарій математичне моделювання не підміняє собою ні математику, ні економічну теорію, ні фінанси, ні жодну з економічних дисциплін і не конкурує з ними. Навпаки, важко переоцінити його синтезуючу роль. Створення й застосування тріади «модель – алгоритм – програма» не можливе без опори на різноманітні методи і підходи і якісного (вербального) аналізу нелінійних економічних моделей, сучасних мов програмування. Воно дає І нові додаткові імпульси й стимули для розвитку економічної науки та її практичного використання.

Мета курсу – навчитися застосовувати методологію, методику та інструментарій економіко-математичного моделювання в теоретичних дослідженнях та використовувати здобуті знання у практичній діяльності.

Економіко-математичне моделювання – це опис соціально-

економічних систем математичними засобами. Під соціально-

19