Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

330

645

Глава 37. Логика, математика, физика и биология в ХХ веке

1.РАЗВИТИЕ ЛОГИКИ И МАТЕМАТИКИ В ХХ ВЕКЕ

1.1.Поиск оснований и открытие антиномий теории множеств

Программа концептуальной ригоризации основных математических понятий, как мы уже знаем, наметилась еще в прошлом веке. Вейерштрасс и его школа подготовили так называемую «арифметизацию» анализа, т. е. редукцию математики как теории «действительных чисел» к арифметическим понятиям математики как теории целых позитивных (натуральных и рациональных) чисел. Еще раньше геометрия была приведена к анализу (посредством операций аналитической геометрии), а арифметика стала «естественной базой» всего здания математики. Редукцию математики к арифметике завершил Пеано в 1899 г. Система Пеано состояла из пяти аксиом, составленных с помощью примитивных терминов: число, ноль, непосредственно выводимый.

Аксиомы таковы: 1) ноль — это число; 2) из числа непосредственно следует число; 3) ноль непосредственно не следует ни из какого числа; 4) из различных чисел следуют разные непосредственно выводимые числа; 5) любое свойство, которым обладает ноль, принадлежит всем числам, если из его справедливости для одного числа следует справедливость этого свойства для числа, непосредственно следующего за ним (это принцип математической индукции).

Одновременно с Пеано Фреге и Кантор попытались редуцировать арифметику и понятие натурального числа к логическому понятию класса, тем более что логика классов кажется более адекватной для поиска оснований математики. Как можно дать определение числа в терминах класса, показывает следующий пример. Даны два класса А и В, и каждому элементу класса А соответствует элемент класса В, и наоборот. Это значит, что оба класса имеют равную мощность, или кардинальное число. Используя чисто механические операции,

646 Развитие наук в XX веке

мы устанавливаем бинарные соответствия элементов двух классов, и даже не умея считать, можем узнать, имеют ли классы одно и то же количество элементов.

На этом основании можно повторить вслед за Б. Расселом, что «математически число есть не что иное, как совокупность равно-мощных классов» («Принципы математики», 1903). Кантор установил иерархию бесконечных множеств, открыв, среди прочего, что множество натуральных чисел имеет ту же мощность, что и множество рациональных чисел. Вопреки интуиции оказалось, что между 0 и 1 есть бесконечно много действительных чисел, и это множество по мощности больше множеств натуральных чисел.

Значит, математика и логика тождественны, вся чистая математика переводима в логические термины бесконечно малых. Грандиозную реконструкцию математики на основании логики провели Б. Рассел и А. Уайтхед в трехтомной работе «Principia mathematica» (1910—1913). Однако арифметическое обоснование Фреге оказалось внутренне противоречивым. Рассел стремился реализовать намерение Фреге сконструировать всю математику на основе логики. Однако в 1901 и 1902 гг. Рассел спровоцировал кризис в логике классов и тем самым нанес удар по основным положениям арифметики, которые Фреге осуществил именно с помощью логики классов. Это произошло вследствие обнаружения антиномии, показавшей, как определенное утверждение, правомерное с точки зрения арифметики у Фреге, является тем не менее противоречивым. Вот в общих чертах антиномия Рассела.

Положим, что множество, не содержащее себя как элемент, есть нормальное множество (все вместе книги на столе не есть книга). Даже если все обычные множества нормальны, нельзя исключить, что существует множество ненормальное. Например, множество всех множеств — тоже множество, хотя и ненормальное. Образуем множество из всех нормальных множеств (М) и спросим: нормально ли оно? Предположим, что М содержит само себя как элемент. Значит, оно нормально, и как нормальное множество не может быть частью себя самого. Тогда предположим, что М не содержит само себя. Тогда оно по определению нормально, но вместе со всеми нормальными множествами это множество должно включать в себя М как элемент. Значит, М должно иметь в качестве элемента себя само. И в одном и в другом случае — противоречие.

Рассел придумал юмористический пересказ этого парадокса: «Деревенский брадобрей бреет всех, кто не бреется сам». Известен античный вариант этой антиномии: «Критянин Эпименид говорит, что все критяне — лжецы». Рассел послал письмо Фреге, где изложил суть антиномии. Фреге попытался найти выход из положения, однако

Гильберт; Гёделъ 647

безуспешно. Так, утратив веру в ценность проделанной работы, он провел последние годы жизни.

Рассел, со своей стороны, полагал, что языковая небрежность является истинной причиной возникновения антиномий. Будучи платоником, он верил в существование особого мира математических сущностей. В приложении к «Principia mathematica» он изложил теорию типов с предписаниями лингвистического характера для избежания апорий.

Рассел предложил разделить наши предикаты на три типа. Предикаты типа 0 суть имена индивидов. Предикаты 1 — свойства (классы) индивидов. Предикаты 2 суть классы классов индивидов и т. д. Правило для избежания антиномий: предикат типа X может быть приписан только субъекту типа X. Как бы то ни было, но многие попытки аксиоматизации теорий множеств оставляли эту и другие важные проблемы нерешенными.

Дж. Реале и Д. Антисери. Западная философия от истоков до наших дней. От романтизма до наших дней (4) — Издательство «Пневма», С-Петербург, 2003, 880 с, ил.

Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

331

1.2. Программа Гильберта и теоремы Гёделя

Фреге, Пеано и Рассел, подобно Платону, верили в объективность мира математических соотношений, открываемых, а не изобретаемых учеными. Давид Гильберт, основатель формалистической школы, говорил, что математический объект существует, когда он определен непротиворечивым образом. Поэтому проблема доказательства сводится к построению непротиворечивости математической теории (т. е. к построению аксиоматической модели). И это становится центральной проблемой. В «Основаниях геометрии» (1899) Гильберт попытался аксиоматизировать Евклидову геометрию. Все же нельзя сказать, что проблема была окончательно им решена. Никто не мог гарантировать непротиворечивость Евклидовой геометрии.

Обнаруженные антиномии, кризис интуитивной очевидности аксиом, логицистские трудности, практичный, но не окончательный характер непротиворечивых теорий — все это подвигло Гильберта на создание программы, в рамках которой доказательство неотносительно, а «прямо» и «абсолютно» для аксиоматической системы. Поскольку классическая математика сводилась к трем большим аксиоматическим системам — арифметике, анализу и множествам, то естественно, что Гильберт начал с доказательства непротиворечивости арифметики, чтобы затем перейти к анализу и теории множеств. После Фреге был неизбежен скрупулезный анализ всех ингредиентов, лингвистических и логических механизмов развития теории. Все это ведет к полной формализации теории.

Необходимо заметить, что формализация теории не означает ее символизацию. Формализовать теорию означает раздробить язык,

648 Развитие наук в XX веке

введя в качестве правил формализации правила манипуляции принятыми формулами. Теория принимает форму чистого исчисления, где нет никаких ассоциаций с символами и их выражениями. А если все так, то непротиворечивость теории можно отождествить с невозможностью прохождения всей демонстративной цепочки. Утверждение при этом совпадет с отрицанием, что будет противоречием. Следовательно, полная аксиоматизация теории ведет к формализации и такой логике, назначение которой — конструировать эту теорию.

Так какими же средствами мог Гильберт провести критический анализ логики в своей метаматике, если не с помощью той же логики? Разве это не порочный круг? И не к той же ли очевидности и интуиции прибег он для доказательства непротиворечивости? Гильберт пытался обосновать процедуры финитистскими методами, частично арифметическими. Финитистские методы сводятся к элементарным и интуитивным процедурам комбинаторного типа, используемым для конечного числа объектов и определяемых функций. Интуиция возвращена как средство обоснования математики, которая, как оказалось, всего лишь упрощает элементарные операции любого теоретическою исследования.

Идеи Гильберта приняли многие талантливые математики, среди которых П. Бернайс (P. Bernays, 1888—1977),

Дж. Гербрандт (J. Herbrandt, 1908-1931), В. Аккерман (W. Ackermann, 1898—1962), Дж. фон Нейман (J. Neumann, 1903—1957). Однако в 1931 г. Курт Гёдель (1906—1978) показал, что желаемую полноту аксиоматической теории чисел получить невозможно. Более того, формула логического исчисления, способного формализовать элементарную арифметику, недоказуема как формула, выражающая ее последовательность. Таким образом, непротиворечивости нельзя достичь, используя инструменты, принадлежащие к той же формальной системе. Это было настоящее поражение программы Гильберта. Гёдель показал невозможность чисто синтаксического доказательства непротиворечивости формальной системы. Гарантию такой логической последовательности теперь стали искать в интерпретациях и моделях исчисления.

1.3. Семантика Тарского и интуиционизм Брауэра

Альфред Тарский (1902—1984) в работе «Понятие истины в формализованных языках» (1934) разработал теорию моделей. Уточняя понятие истины и семантического (а не синтаксического) понятия логического следствия, Тарский занялся отношениями между формализованными языками и множеством объектов. Логическая семантика после открытий Гёделя стала центральной.

Тарский; Брауэр 649

Если исчисление согласуется с моделью, то оно последовательно. Это доказательство семантического типа. Нельзя не сказать несколько слов об интуиционизме в математике нашего столетия. Если Фреге и Рассел

считали математические объекты объективно существующими, а Гильберт существующими считал только правильно определенные объекты, то голландец Лёйтзен Эгберт Ян Брауэр (1881—1966) полагал математический объект существующим только в случае, если удается его сконструировать или указать процедуру построения похожего объекта. Эта интуиционистская концепция запрещает возвращение к актуально бесконечному. Если и говорится о бесконечном, то о потенционально бесконечном, и никогда не об актуально данном. С другой стороны, если существование математического объекта означает его реализованную конструкцию, то этот тип доказательства известный «закон исключенного третьего» не принимает. Практика показывает, что если математические объекты проходят интуитивный контроль, то опасности антиномий удается избежать. Казалось, что интуиционизм отказывается от большей части классической математики. В сегодняшней математике интуиционизм образует одно из интереснейших и плодотворных течений.

Дж. Реале и Д. Антисери. Западная философия от истоков до наших дней. От романтизма до наших дней (4) — Издательство «Пневма», С-Петербург, 2003, 880 с, ил.