Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

143

1.1. Когда наука приобретает философский смысл

Тесное переплетение философских идей и научных теорий, черты эволюции, обнаруживаемые как в науке, так и в смене философских образов человека, истины, мира, заставляют философов, далеких от специальных научных проблем, быть внимательными к проблемам развития науки. Процесс ригоризации математики, возникшие на рубеже веков математические антиномии угрожали всему зданию математического знания. В то же время неевклидова геометрия поколебала одну из философски укорененных идей, согласно которой аксиомы Евклидовой геометрии принадлежат к разряду самоочевидных и необсуждаемых аксиом. То, что считалось незыблемыми «принципами», в рамках неевклидовой геометрии стали трактовать как «начала» и «конвенции». Это типичный пример того, как технические результаты, полученные в научном исследовании, могут перевернуть философские теории. Очевидно, что выбор в пользу определенной теории отражается на представлении о человеке: способный к абсолютным истинам человек — далеко не тот же самый, который удовлетворяется «конвенциями». Физика прошлого столетия привела механистический образ Вселенной в конце века к необратимому кризису. Спор механицизма с витализмом не закончился очевидной победой первого. Биология поставила перед философской антропологией и религиозной мыслью нешуточные проблемы. Дарвиновская эволюционная теория биологических видов сделала образ человека радикально иным.

Значительные результаты были получены в математике, физике, биологии, химии, эмбриологии, физиологии, анатомии, фармакологии, геологии, кристаллографии, астрономии, истории. Клеточная теория Рудольфа Вирхова показала, что «животное существо есть сумма витальных единиц, каждая из которых обладает всеми

226 Развитие наук в XIX веке

характеристиками жизни». Так зародилась генетика. Моравский монах-августинец Грегор Мендель (1822— 1884) соединил свои познания из области математики с ботаническими, скрещивая семена горошка в течение восьми лет. Так появились законы наследственности Менделя: закон расщепления и закон независимого комбинирования признаков. Возможно, идеи Менделя были слишком непонятны для той эпохи: он умер в 1884 г. в полной безвестности. Только в 1900 г. три ботаника — голландец де Фриз, немец Корренс и венгр Чермак, — независимо один от другого, пришли к закону наследственности, признав приоритет Менделя. Тогда же возникли споры относительно бактерий и других микроорганизмов. Пастер показал, что они присутствуют в атмосфере и капельным путем распространяются, что их можно разрушить высокой температурой, сделав культурную среду стерильной.

1.2. Наука и общество в XIX веке

Не будем забывать и о технических достижениях прошлого столетия. Их следует рассмотреть в широком социальном контексте, отмеченном великой индустриальной революцией. Знаком обновления высшей школы стали Ecole Polytechnique (детище французской революции), институты Гейссена, Дрездена, Монако, также политехнического типа. Микробиология побеждает инфекционные болезни. Открытия в области электропроводимости позволили создать телефон (через пятьдесят лет экспериментов появились телефон без проводов, радио и радар), динамо-машину, всю индустрию электрических машин.

Хотя связь между индустриальным обществом и развитием знания очевидна, не следует впадать в социологизм, полагая, что наука была фатально замкнута на утилитарные проблемы. XIX век — еще и век филологии и истории, искусства и археологии. Математика, геометрия, эволюционная теория, астрофизика родились не потому, что они служили индустрии, той или иной власти. За спиной науки не промышленный король или монарх, но вся история народов, культурная память поколений, другими словами, — западная традиция.

Сфера истины — как тогда, так и теперь — богаче и шире, чем сфера полезного. Это можно увидеть на примере генетики (когда она родилась, никому не была нужна) и лингвистики. Сравнительная грамматика и открытие фонетических законов стали гордостью немецкой науки. Они служили умножению познания, внесению в него разумного порядка (экспликативного и эвристического). Без этого сложно понять логику индустриальной революции. Две науки, вышедшие из сферы метафизики и исследующие сущность и глубинные законы общества, структурируют свой предмет и метод

Математика 227

именно как собственно научные дисциплины: психология (школа Вундта) и социология (Дюркгейм).

2. ПРОЦЕСС РИГОРИЗАЦИИ МАТЕМАТИКИ

Математика XIX века, в отличие от века Эйлера и Лагранжа, характеризуется сильным тяготением к строгости в том смысле, что при объяснении понятий различных теорий и определении дедуктивных процедур решительно изгоняется очевидность как инструмент обоснования математических результатов. Этот процесс начался с «редукций» Луи Огюстена Коши (1789—1857), его анализа бесконечно малых (понятий предела, производной, интеграла и т. п.). Вторая фаза — так называемый арифметический анализ, в рамках которого теория действительных чисел сведена к теории натуральных чисел. Исследования Вейерштасса, Кантора и Дедекинда показали, что теория действительных чисел со всеми ее конструкциями точным образом вытекает из понятия и свойств натуральных чисел.

Натуральное число, показал Леопольд Кронекер, есть «изначальный материал» и основание математики. В математике, говорил он, все — творение человека, за исключением натуральных чисел: «они сотворены Господом». Однако другие математики рассмотрели возможность углубить понятие натурального числа, привести его к более фундаментальному. Возникли два направления поисков.

Дж. Реале и Д. Антисери. Западная философия от истоков до наших дней. От романтизма до наших дней (4) — Издательство «Пневма», С-Петербург, 2003, 880 с, ил.

Янко Слава (Библиотека Fort/Da) || http://yanko.lib.ru

144

Готлоб Фреге (1848—1895) в работе «Основания арифметики» (1884) свел арифметику к логике, а натуральное число — к комбинации чисто логических понятий. «Я стремился сделать правдоподобным тот факт, что арифметика — ответвление логики, и нет никакой нужды выводить ее из опыта или чистого созерцания в качестве основания доказательств». Простейшие законы исчисления раскрываются чисто логическими средствами. Так произошел переход от «арифметизации анализа» к «логизированной арифметике», продолженный позже Бертраном Расселом. Кантор, сведя логику к теории множеств, открыл дверь в математику с беспрецедентной доселе унифицирующей потенцией.

Однако стараниями Эвариста Галуа (Е. Galois, 1811—1832) (гениального математика, убитого в двадцать один год на дуэли при странных обстоятельствах), блистательно решавшего алгебраические Уравнения, Джорджа Пикока (G. Peacock, 1791—1858), Уильяма Гамильтона (W. R. Hamilton, 1805—1865), Артура Кэли (A. Cayley, 1821—1895), Германа Грассмана (H. Grassman, 1807—1877), Джорджа

228 Развитие наук в XIX веке

Буля (G. Boole, 1815—1864) была создана абстрактная алгебра. Традиционная логика терминов (в частности, силлогистическая) преобразована в алгебру уравнений. Переосмыслив «универсалии» Лейбница, Буль создал «алгебру логики», получившую дальнейшую разработку в трудах Джевонса (VV. S. Jevons), Шрёдера и Пирса (см. главу «Прагматизм»). Так логика стала символической логикой в качестве раздела математики.

Фреге, поставивший вопрос о строжайшем контроле над математическими доказательствами, видел в математике не просто основание различных частных теорий, но также инструмент построения строго научного здания математики. Что значит «строго научное», Фреге в «Основаниях арифметики» пояснил так: «Можно сослаться на мнение Евклида, считавшего, что нельзя претендовать на то, чтобы все было доказано, ибо это невозможно. Однако можно требовать, чтобы все недоказанные положения были четко объявлены как недоказанные, чтобы не было сомнений, на чем основана вся конструкция. Необходимо, кроме того, пытаться сделать минимальным число исходных законов, делающих доказательным то, что можно доказать. Идя дальше Евклида, я требую, чтобы все применяемые дедуктивные процедуры были предварительно объяснены. В противном случае первое требование нельзя удовлетворить надлежащим образом... Аргументация моей концепции имеет характер исчисления в том смысле, что общий алгоритм, т. е. комплекс правил, определяет переход от одного положения к другому так, что ни один из членов, не обоснованных ими, не принимается. Я намерен реализовать дедукцию, свободную от нестрогих моментов, с максимальной логической точностью, более того, ясную и краткую». Логицистская программа Фреге будет продолжена Расселом и Уайтхедом. Но следует отметить, что первоначальная классическая аксиоматизация арифметики была предложена Джузеппе Пеано (1852— 1932) и Дедекиндом, понимавшими логику как мощный инструмент построения строго математического знания.

3. ФИЛОСОФСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ

Открытие неевклидовой геометрии Лобачевским (1826) внесло коренные изменения в представления о природе пространства. Важными событиями отмечено развитие геометрии на рубеже XIX— XX веков. Начиная с шестидесятых годов прошлого столетия, открытия в области геометрии становятся общематематическим

Неевклидова геометрия 229

достоянием. Это хорошо видно из известной «эрлангенской» программы, предложенной Феликсом Клейном (1849—1925) в 1872 г., согласно которой разделы геометрии (метрической, проективной) иерархично соподчинены по степени обобщения. Не имея возможности подробно останавливаться и даже частично осветить множество важнейших проблем развития математики и геометрии этого периода трансформации, отметим все же некоторые моменты философского плана. Созерцание было элиминировано из новых геометрических теорий: аксиомы перестали быть «очевидными истинами». Их заменили простые и чистые «начала», конвенционально выбранные как исходные моменты. Если аксиомы считаются верными, будут истинны и теоремы, корректно выведенные из них, что гарантирует истинность системы в целом.

Возникает вопрос: если аксиомы суть чистые постулаты в качестве исходных моментов рассуждения, то что и как страхует систему в целом? Дедуцируя теоремы одну из другой, можем ли мы быть уверены в том, что, споткнувшись об одно противоречие, система не опрокинется вместе со всем, что в ней построено? Вопрос далеко не праздный, ведь неевклидова геометрия основывается на тезисе, что истинность теории — в ее непротиворечивости. Это исходное положение «формалистической» программы Давида Гильберта (1862—1943), потерпевшей, как известно, крушение. Неудача постигла и теорию множеств Кантора из-за внутренних антиномий.

С открытием неевклидовых геометрий идея несомненных и самоочевидных истин (аксиом) была отвергнута. В зависимости от начальных принципов доказательств и их характера, проведено разделение геометрии на математическую и физическую. Первая исходит из предпосылки, что отношениями с объектами внешнего мира можно пренебречь. Вторая становится разделом физики и пытается особым образом рационализировать пространственный опыт. Так проблема истинности геометрических положений срастается с проблемой математической истины, которая сводится к набору логических следствий из аксиом, понятых как «конвенции», соглашения.

Концепция аксиом-конвенций, вытекающая из неевклидовой геометрии, повлекла за собой массу проблем. Пока под аксиомами подразумевали принципы объективной истины, когерентность системы была гарантирована. Корректная дедукция из истинных посылок порождает только истинные следствия, а две истинные пропозиции не могут противоречить друг другу. Но когда снят вопрос об истинности и ложности исходных положений, как можно исключить (даже при максимально корректной дедукции) появление противоречий?

Другая проблема, проблема полноты, состоит из двух подпроблем. Есть полнота синтаксическая и полнота семантическая. Можно ли

Дж. Реале и Д. Антисери. Западная философия от истоков до наших дней. От романтизма до наших дней (4) — Издательство «Пневма», С-Петербург, 2003, 880 с, ил.