Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

АЛГЕБРА

§ 14. Уравнения с одной переменной

Тогда уравнение f(x) = a имеет единственный корень в промежутке Х.

П р и м е р 2. Решить графически уравнение

2x = 6 - x.

q Легко заметить, что õ = 2 — корень уравнения. Так как функция ó = 2õ возрастает, а функция ó = 6 – õ убывает, то других корней это уравнение не имеет (рис. 72). n

166. Уравнения с параметром. Пусть дано равенство с переменными õ, à: f (x; a) = 0. Если ставится задача для каждого действительного значе- ния à решить это уравнение относительно õ, то уравнение f (x; a) = 0 называется уравнением с переменной õ è параметром à. Решить уравнение с параметром à — это значит для каждого значения à найти значения õ, удовлетворяющие этому уравнению.

П р и м е р 1. Решить уравнение

2a(a - 2)x = a - 2.

(1)

q Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при õ (при этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при õ,

àпри остальных значениях параметра такое деление возможно). Такими значениями являются à = 0,

à= 2. Ïðè à = 0 уравнение (1) принимает вид 0 · õ = = – 2. Это уравнение не имеет корней. При à = 2

уравнение (1) принимает вид 0 · õ = 0, его корнем служит любое действительное число. При a ¹ 0 è

221

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

a ¹ 2 уравнение (1) можно преобразовать к виду

x =	a - 2	, откуда x =	1	.
	2a (a - 2)
			2a

Èòàê, åñëè à = 0, то уравнение не имеет корней; если à = 2, то корнем служит любое действительное

число; если a ¹ 0 è a ¹ 2, òî x = 1 . n

2a
П р и м е р 2. Решить уравнение
(a - 1)x2 + 2(2a + 1)x + 4a + 3 = 0.	(2)

q Выделим особо значение параметра à = 1. Äåëî â òîì, ÷òî ïðè à = 1 уравнение (2) не является квадратным, а при a ¹ 1 оно квадратное. Значит, решать его в каждом из этих случаев надо по-своему. При à = 1 уравнение (2) принимает вид 6õ + 7 = 0, откуда находим õ = –7/6. В случае a ¹ 1 для квадратного уравнения (2) выделим те значения параметра, при которых дискриминант обращается в нуль. Имеем 0,25D = 5à + 4. Значит, à = –4/5 — значение параметра, на которое надо обратить внимание.

Åñëè a < -4/5, òî D < 0, и, следовательно, уравнение не имеет корней; если же a > -4/5 è a ¹ 1, òî

D > 0 è x = - (2a + 1) ± 5a + 4 ; наконец, если a = a - 1

2a + 1

= -4/5, òî D = 0 è x = - a - 1 , ò. å. õ = –1/3. Èòàê, åñëè a < -4/5, то корней нет; если à = 1,

222

АЛГЕБРА

§ 15. Уравнения с двумя переменными

òî õ = –7/6; åñëè à = –4/5, òî õ = –1/3; åñëè a > -4/5

è a ¹ 1, òî x = - (2a + 1) ± 5a + 4 . n a - 1

§ 15. Уравнения с двумя переменными

167. Решение уравнения с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными f (x, y) = 0.

Пара значений переменных, обращающая уравнение с двумя переменными в верное равенство, называется решением уравнения. Если дано уравнение с двумя переменными õ è ó, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной õ, а на второе — значение ó.

Так, пары (10; 0), (16; 2), (–2; –4) являются решениями уравнения õ – 3ó = 10, а пара (1; 5) его решением не является.

Это уравнение имеет и другие решения. Для их отыскания удобно выразить одну переменную через другую, например õ через ó, получив уравнение õ = = 10 + 3ó. Выбрав произвольное значение ó, вычислим соответствующее значение õ. Òàê, åñëè ó = 7, òî õ = 10 +3 · 7 = 31, значит, пара (31; 7) является решением уравнения.

Уравнения с двумя переменными называются равносильными, если они имеют одни и те же решения.

Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы 4.1–4.4 о равносильных преобразованиях уравнения (см. п. 139).

223

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

168. График уравнения с двумя переменными.

Пусть дано уравнение с двумя переменными f (x,y) =

= 0. Если все его решения изобразить точками на координатной плоскости, то получится некоторое множество точек плоскости. Это множество называется

графиком уравнения f (x,y) = 0.

Например, графиком уравнения ó – õ2 = 0 является парабола ó = õ2 (см. рис. 15); графиком уравнения ó – õ = 0 является прямая (биссектриса I и III координатных углов; см. рис. 14). Графиком урав-

нения x - 1 + y - 2 = 0 является одна точка (1; 2),

так как координаты только этой точки удовлетворяют уравнению.

169.Линейное уравнение с двумя переменными

èего график. Уравнение вида ax + by = c, ãäå õ, ó —

переменные, а a, b, c — числа, называется линейным; числа à è b называются коэффициентами при переменных, число ñ — свободным членом.

Графиком любого линейного уравнения ax + +by = c, у которого хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, является прямая; если à = 0, то она параллельна оси Îõ, åñëè b = 0, то она параллельна оси Îó (ðèñ. 73).

П р и м е р. Построить график уравнения

2õ – 3ó = – 6.

q Графиком этого линейного уравнения является прямая.Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Подставив в уравнение 2õ – 3ó = – 6 вместо õ значение 0, получим –3ó = –6, откуда ó =

224

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

Ðèñ. 73

Ðèñ. 74

= 2. Подставив в уравнение 2õ – 3ó = – 6 вместо ó значение 0, получим 2õ = – 6, откуда õ = – 3.

Итак, мы нашли две точки графика: (0; 2) и (–3; 0). Проведя через них прямую, получим искомый график. n

§16. Системы уравнений

170.Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы. Пусть даны два урав-

нения с двумя переменными f (x, y) = 0 è g (x,y) = 0. Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то, говорят, что надо решить систему уравнений. Каждая пара значений переменных, обращающая в верное равенство каждое уравнение системы, называется решением системы уравнений. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

225

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

Две системы уравнений называются равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Если, в частности, обе системы не имеют реше-

ний, то они также считаются равносильными.

Ò.4.9. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

Из этой теоремы следует, что если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением,

то получится система, равносильная заданной. Ò.4.10. Пусть дана система двух уравнений с дву-

мя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

171. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки. Метод под-

становки заключается в следующем:

1.Одно из уравнений системы преобразуют к виду,

âкотором переменная ó выражена через õ (èëè õ через ó).

2.Полученное выражение подставляют вместо ó (или вместо õ) в другое уравнение. В результате получают уравнение с одной переменной.

3.Находят корни этого уравнения.

4.Воспользовавшись выражением ó через õ (èëè õ через ó), находят соответствующие значения ó (èëè õ).

П р и м е р. Решить систему уравнений

ìx - 3y = 10,

ï

íïx2 - 24y = 100.

î

226

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

q Из первого уравнения выразим õ = 3ó + 10. Подставив выражение 3ó +10 вместо õ во второе уравнение системы, получим (3ó + 10)2 – 24ó = 100, откуда ó1 = 0, ó2 = –4. Соответствующие значения

õнайдем из уравнения õ = 3ó + 10. Åñëè ó = 0, òî

õ= 10; åñëè ó = –4, òî õ = –2. Итак, система имеет два решения: (–2; –4) и (10; 0). n

172.Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения. Метод сложения

основан на теоремах 4.9 и 4.10 (см. п.170). П р и м е р. Решить систему уравнений

ì2x + 3y = 7,
í	(1)
î3x - y	= 16.

q Умножив обе части второго уравнения системы (1) на 3, получим систему

ì2x + 3y = 7,
í	(2)
î9x - 3y = 48,

равносильную данной по теореме 4.9.

Сложим теперь оба уравнения системы (2). По теореме 4.10 система

	ì2x + 3y = 7,	(3)
	í
		+ 48
	î(2x + 3y) + (9x - 3y) = 7

равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду

ì2x + 3y = 7,

í

î11x = 55.

227

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

Из уравнения 11õ = 55 находим õ = 5. Подставив это значение в уравнение 2õ + 3ó = 7, получим ó = –1.

Итак, (5; –1) — решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1). n

173. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных.

Существуют два варианта использования метода введения новых переменных при решении систем двух уравнений с двумя переменными: 1) вводят одну новую переменную только для одного уравнения системы; 2) вводят две новые переменные сразу для обоих уравнений.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений

ì x		+	y	=	13
ï						,
í y			x		6
ï		+ y = 5.
îx

q Положим x/y = z, тогда y/x = 1/z и первое

уравнение системы примет вид z + 1 = 13 . Относи- z 6

тельно новой переменной z получаем уравнение

6z2 - 13z + 6 = 0,	откуда z = 2 / 3, z = 3 / 2. Òà-
	1	2
ким образом, либо x / y = 2/ 3, ò. å.		y = 3x /2, ëèáî

x/ y = 3/2, ò. å. y = 2x / 3.

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: y = 3x / 2 è y = 2x / 3. В соответствии с этим нужно решить совокупность двух систем:

228

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

ìy = 3x / 2,		ìy = 2x / 3,
í	= 5;	í	= 5.
îx + y		îx + y

Из первой системы находим õ = 2, ó = 3, из второй õ = 3, ó = 2. Итак, (2; 3) и (3; 2) — решения данной

системы.n
Ï ð è ì å ð	2. Решить систему уравнений
ì		2	+ y	2	+ x + y = 32,
ïx
í					(1)
ïxy + 2				(x + y) = 26.
î

q Положим õ + ó = è, xy = v. Тогда õ2 + ó2 = (õ + + ó)2 – 2õó = è2 – 2v и система (1) примет вид

ì	2	- 2v + u = 32,
ïu
í		(2)
îïv	+ 2u = 26.

Систему (2) решим методом подстановки. Выразив из второго уравнения v через è, получим v = = 26 - 2u; подставив это выражение в первое уравнение, имеем

u2 – 2(26 – u) + u = 32; u2 + 5u – 84 = 0;

u1 = -12, u2 = 7.

Соответственно находим v1 = 50, v2 = 12. Итак, найдены два решения системы (2): u1 = -12, v1 = 50 è

u2 = 7, v2 = 12.

Возвращаясь к исходным переменным, получим совокупность систем:

ìx + y = -12,	ìx + y = 7,
í	í
îxy = 50;	îxy = 12,

229

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

каждую из которых нетрудно решить методом подстановки (выразив, например, ó через õ из первого уравнения). Первая система не имеет решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и являются решениями исходной системы (1). n

174. Определители второго порядка. Исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными. В теории систем линейных уравнений

удобно использовать понятие определителя. Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством

a11 a12 = a11a22 - a21a12. a21 a22

Числа a11 , a12 , a21 , a22 называют элементами îï-

ределителя; при этом элементы a11 è a22 образуют

главную диагональ, а элементы a12 è a21 — ïî-

бочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побоч- ной диагонали.

Например,

-2 7 = -2 × 8 - 3 × 7 = -37. 3 8

Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя переменными:

ìa x + a		y = b	,
í 11	12	1		(1)
îa1221x + a22y = b2.

230