Справочник школьника по математике. 5-11 кл_Маслова Т.Н, Суходский А.М_2008 -672с

D = 0,

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

10. Если определитель системы D =	a11	a12	¹ 0,
	a21	a22

то система (1) имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:

b1 a12

a11 b1

x =	b2 a22	=	D		, y =	a1221 b2	=	Dy	(2)
	D		D			D		D .
				x

Здесь Dx è Dy — определители, получающиеся из определителя системы D заменой столбцов коэффициентов при соответствующем неизвестном столбцом свободных членов.

20. Åñëè íî Dx ¹ 0 (èëè Dy ¹ 0 ), то система (1) не имеет решений (система несовместная).

30. Åñëè D = Dx = Dy = 0, то система (1) имеет

бесконечное множество решений (система неопределенная).

П р и м е р. Решить систему уравнений:

ì5x - 2y = 7,		ì5x - 2y = 4,
à) í	á)	í
î10x + 7y = 3;		î35x - 14y = 200;

ì0,2x + 3,1y = -2,3, â) í

îx + 15,5y = -11,5.

q а) Находим определитель системы:

D = 5 - 2 = 35 + 20 = 55. 10 7

231

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

Заменив теперь в нем первый столбец столбцом свободных членов, получим

Dx = 7 - 2 = 49 + 6 = 55.

37

Аналогично имеем

Dy = 5 7 = 15 - 70 = -55. 10 3

Теперь по формуле (2) находим x = 55 = 1, y =

55

= -55 = -1, т. е. (1; –1) — решение системы. Гео-

55

метрически это означает, что прямые, задающие уравнения системы, пересекаются в точке (1; –1).

б) Найдем определитель системы:

D = 5 - 2 = -70 + 70 = 0. 35 - 14

Теперь вычислим Dx; имеем

Dx	=	4	- 2	= -56 + 400 ¹ 0.
		200	- 14

Отсюда следует, что система несовместна. Этот вывод можно было сделать без помощи определителей, если заметить, что в данной системе коэффициенты при õ è ó пропорциональны, а свободные члены им не пропорциональны: 5 : 35 = (–2) : ( –14) ¹ ¹ 4 : 200. Геометрически это означает, что данные прямые параллельны.

в) Имеем

D = 0,2 3,1 = 3,1 - 3,1 = 0.

115,5

232

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

Далее находим

Dx	=	- 2,3			3,1		= -35,65 + 35,65 = 0,
		- 11,5			15,5
	Dy =			0,2	- 2,3
							= -2,3 + 2,3 = 0.
				1	- 11,5

Значит, система является неопределенной (это видно и из того, что все коэффициенты системы пропорциональны: второе уравнение системы получается из первого умножением на 5). Геометрически это означает, что данные прямые совпадают. n

175. Симметрические системы. Многочлен

P (x, y) называется симметрическим, если при замене õ íà ó è ó íà õ выражение P (x, y) не изменяет-

ся. Например, многочлены P1 (x, y) = x3 + 3xy + y3 è

P2 (x, y) = x2 + y2 + 4x + 4y являются симметрическими.

Система уравнений называется симметрической, если оба ее уравнения — симметрические. Симметрическую систему можно решить методом замены переменных, если в качестве новых переменных выбрать основные симметрические многочлены, ò. å.

õ+ ó è õó.

Ïр и м е р. Решить систему уравнений

ì	3	+ x	3	y	3	+ y	3	= 17,
ïx
í	+ xy		+ y = 5.
ïx
î
q Это — симметрическая система. Положим õ +
+ ó = è, õó = v. Òàê êàê								x3 + y3 = (x + y) (x2 -

- xy + y2) = (x + y) ((x + y)2 - 3xy) = u (u2 - 3v) = u3 -

233

					АЛГЕБРА
				Раздел IV. УРАВНЕНИЯ
-3uv, то заданная система примет вид
ì	3	- 3uv	+ v	3	= 17,
ïu
í
îïu	+ v = 5.
Из этой системы, которую легко решить методом
подстановки, находим			u1 = 3, v1 = 2 è u2 = 2,

v2 = 3.

Остается решить совокупность систем

ìx + y =	3,	ìx + y =	2,
í		í
îxy = 2;		îxy = 3.

Первая имеет решения (1; 2) и (2; 1), а вторая не имеет решений. Итак, (1; 2), (2; 1) — решения данной системы. n

176. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными. Чтобы графически ре-

шить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересе- чения этих графиков.

П р и м е р. Решить графически систему уравнений

ì	2	+ y	2	= 25,
ïx
í

ïxy = 12.

î

q Графиком уравнения x2 + y2 = 25 является ок-

ружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5. Графиком уравнения õó = 12 ÿâëÿ-

234

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

Ðèñ. 75

ется гипербола y = 12 (см. п. 75). Построив графи- x

ки в одной системе координат (рис. 75), найдем координаты точек пересечения окружности и гиперболы: À (4; 3), Â (3; 4), Ñ (–4; –3), D (–3; –4). Значит, (4; 3), (3; 4), (–4; –3), (–3; –4) — решения данной системы. n

177. Системы трех уравнений с тремя переменными. Рассмотрим систему трех уравнений с

тремя переменными

ìf (x, y, z) = 0, ïíg (x, y, z) = 0, ïîh (x, y, z) = 0.

235

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

Решением такой системы называется всякая тройка чисел, удовлетворяющая каждому уравнению системы.

П р и м е р 1. Решить систему уравнений

ìïx + y + z = 2,

í2x + 3y + z = 1,

ïîx2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 9.

q Применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения õ через ó è z и подставим результат во второе и третье уравнения. Имеем

ìïx = 2 - y - z,

í2 (2 - y - z) + 3y + z = 1,

ïî(2 - y - z)2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 9;

ìïx = 2 - y - z, íy - z = -3,

ïîy2 + z2 + yz - 3z = 0.

Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки. Имеем

ìy = z -	3,	ìy = z - 3,
ï		ï
í	+ z2 + z (z - 3) - 3z = 0,	í	- 4z +		= 0.
ï(z - 3)2		ïz2		3
î		î

Решив уравнение z2 - 4z + 3 = 0, находим z1 = 1, z2 = 3. Из уравнения y = z - 3 получаем соответ-

236

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

ственно y1 = -2, y2 = 0, а из уравнения x = 2 - y - z

находим x1 = 3, x2 = -1.

Итак, получили следующие решения: (3; –2; 1), (–1; 0; 3). n

П р и м е р 2. Решить систему уравнений

ì- x + 4y + z = 4, ïí2x + y - z = 7, ïî3x + 2y + 2z = 1.

q Умножив первое уравнение системы на 2 и сложив результат со вторым уравнением системы, придем к уравнению

9y + z = 15.

(1)

Умножив первое уравнение системы на 3 и сложив результат с третьим уравнением системы, придем к уравнению

14y + 5z = 13.

(2)

В уравнениях (1) и (2) отсутствует переменная õ, мы ее исключили. Рассмотрим эти уравнения относительно переменных y, z. Умножив уравнение (1) на 14, уравнение (2) — на 9 и вычтя второй результат

из первого, придем к уравнению 14(9y + z) -

-9 (14y + 5z) = 15 × 14 - 13 × 9, ò. å. - 31z = 93 ,	откуда
z = -3.	(3)

Теперь, как видно, исключена переменная ó. Перепишем первое уравнение исходной системы

â âèäå x - 4y - z = -4, уравнение (1) — в виде

237

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

y + 1 z = 15 , а уравнение (3) оставим без измене-

99

ния. Получим «треугольную» систему

ìx - 4y - z = -4,

	ï		1		15
	ï	y +		z =
	í					,
			9		9
	ï
	ï			z = -3,
	î

которая легко решается последовательными подстановками «снизу вверх»: так как z = -3, то из второ-

го уравнения находим y - 3 = 15 , ò. å. ó = 2. Íàêî- 9 9

нец, из первого уравнения «треугольной» системы находим õ – 8 + 3 =–4, ò. å. õ = 1.

Итак, (1; 2; –3) — решение данной системы. n Описанный метод последовательного исключения

неизвестных называется методом Гаусса.

178. Определители третьего порядка. Исследование систем трех линейных уравнений с тремя переменными. Определителем третьего порядка

называется число, определяемое равенством

a11

a12

a13

a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 -

a21

a22

a23

=

- a

a

a

- a a

a

- a

a a

. (1)

a31

a32

a33

13

22

31

11

23

32

12

21

33

Таким образом, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с оп-

238

АЛГЕБРА

§ 16. Системы уравнений

ределенными знаками: со знаком «+» — три члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «–» три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали.

Указанное правило, называемое правилом треугольников, иллюстрирует схема, изображенная на рис. 76.

Ðèñ. 76

Например, используя формулу (1), получим

2	4	1		2 × 3 × 3 + 4 × 5 × 4 + 1 × (-1) × (-1) -
- 1 3		5	=
4	- 1	3		- 1 × 3 × 4 - 2 × 5 (-1) - 4 (-1) × 3 = 109.

Алгебраическим дополнением элемента aik îï-

ределителя называется число Aik, представляющее собой определитель второго порядка, получающийся

239

АЛГЕБРА

Раздел IV. УРАВНЕНИЯ

из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и k-го столбца и взятый со знаком «+», если сумма номеров вычеркнутых строки и столбца четная, и со знаком «–» в противном случае.

Например, для определителя (1) имеем

A =	a22	a23	, A	32	= -	a11 a13		.
11	a32	a33				a21	a23

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения (разложение определи-

теля по элементам какой-либо строки или столбца).

Вычислим, например, данный выше определитель разложением по элементам первой строки.

Имеем

2	4	1		3 5		- 1 5		- 1 3
- 1 3		5	= 2		- 4		+ 1 ×		=
4	- 1	3		- 1 3		4 3		4 - 1

= 2 × 14 - 4 (-23) + 1× (-11) = 109,

что совпадает с результатом, полученным по формуле (1) (см. с. 239).

Для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными

ìa	x + a	y + a z = b ,
ï 11	12	13	1
ía21x + a22y + a23z = b2				,	(2)
ïa	x + a	y + a z = b
î 31	32	33	3

справедливо утверждение, аналогичное утверждению

240