Порядок выполнения работы

1. Изучить теоретический материал и привести расчетные формулы.

2. Определить время хода поезда по участку по данным таблицы 9.1.

Методика расчета:

1. по диаграмме удельных сил (рисунок 9.4) определить скорость установившегося движения;

2. определить время хода поезда по участку (формула 9.1, 9.2).

3. Письменно ответить на контрольные вопросы.

Рисунок 9.4 Диаграмма удельных сил

Таблица 9.2

Исходные данные для расчета

Вариант	1 элемент		2 элемент		3 элемент		4 элемент		5 элемент
	длина, м	крутизна, ‰	длина, м	крутизна, ‰	длина, м	крутизна, ‰	длина, м	крутизна, ‰	длина, м	крутизна, ‰
0	2000	0	2000	1	3500	0,5	1200	0	1200	1
1	1500	2	1500	3	3000	1	1700	2	1700	3
2	3000	4	3000	5	2500	2	3000	4	4500	4
3	2500	5	3000	7	1200	3	2500	6	2000	7
4	1200	8	2500	9	1700	4	1200	8	1500	9
5	1700	7	1200	2	1800	6	1700	7	3000	12
6	1800	3	1700	4	1900	7	1800	3	3000	7
7	1900	2	1800	6	4000	8	1900	6	2500	6
8	4000	1	1900	8	3200	9	4000	1	1200	8
9	3200	0	4000	0,5	2000	2	3200	0	1700	0,5

Контрольные вопросы:

1. Каким способом можно определить скорость установившегося движения?

2. Что называют скоростью установившегося движения?

3. Опишите принцип метода установившихся скоростей

4. В каких случаях используется метод установившихся скоростей?

5. Каковы недостатки метода установившихся скоростей?

Практическое занятие № 10 решение уравнения движения поезда методом эйлера

Содержание: построение зависимости v(S) методом Эйлера.

Основными целями тяговых расчетов, базирующихся на решении уравнения дви­жения поезда (10.1), являются выявление зависимости возможной скорости движения v (или построение графика цикла транспортного движения на расстоянии S) заданного поезда (тип и серия локомотива, масса со­става, тип вагонов) по заданному участку железнодорожного пути (его длина, план и продольный профиль, тип верхнего строения рельсового пути) и определение на этой основе времени движения поезда по это­му участку.

(10.1)

Ака­демик А.Н. Крылов разделил приемы нахождения приближенных ре­шений дифференциальных уравнений на следующие группы:

1. Разложение общего интеграла в ряды.

2. Применение способа последовательных приближений.

3. Приближенное численное интегрирование.

При выполнении тяговых расчетов обычно нет необходимости в нахождении общего решения дифференциального уравнения движения поезда. Достаточно найти частное решение, удовлетворяющее началь­ным условиям. При этом нет необходимости представлять искомое ре­шение аналитически в виде функции, а достаточно составить таблицу значений указанной функции или построить кривую, представляющую решение уравнения движения поезда. Ниже рассмотрим некоторые из подобных методов.

Начало построению способов численного решения дифференциаль­ного уравнения положил Л. Эйлер.

Метод Эйлера. Пусть искомая функция у определяется дифферен­циальным уравнением:

(10.2)

и начальным условием Выбрав достаточно малый шаг h, принимаем, что пока х находится между х₀ и х₀ + h, у мало отличается от у₀ и производная сохраняет постоянное значение φ(х₀, у₀),следовательно, для рассматриваемого интервала можно записать:

(10.3)

При

Для второго интервала при

и т.д. Таким образом, получаем ряд точек с координатами яв­ляющихся вершинами ломаной линии, представляющей прибли­женное решение уравнения (10.1). В общем виде для любого мож­но записать

(10.4)

Чем меньше шаг h, тем ближе полученная линия к искомой интегральной кривой .

Предложив свой метод, Л. Эйлер утверждает: «.. .чем меньше про­межутки между последовательными значениями х, тем точнее опреде­ляются все остальные величины; тем не менее, вследствие большого числа, накопление и этих малых погрешностей может достигнуть значительной величины. Погрешность при этом вычислении происхо­дит оттого, что на протяжении каждого отдельного промежутка обе пе­ременные х и у принимаются сохраняющими свои постоянные значе­ния, соответствующие началу этого промежутка, так что и значение функции остается постоянным, поэтому, чем быстрее значение этой функции изменяется при переходе от одного промежутка к следу­ющему, тем большую можно ожидать погрешность». Более точными являются модификации метода Эйлера - усовершенствованный ме­тод ломаных и усовершенствованный метод Эйлера-Коши. Метод Эйлера и его модификации являются простейшими представителями конечно-разностных методов (шаговых методов) для приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях. При применении конечно-разностного метода искомое решение

последовательно строится на системе точек (узлов)

,

где h - выбранный шаг. Процесс вычислений разделяется на повторяющиеся циклы, каждый из которых переводит обозначения к значению , начиная с начального . Такая схема вычислений удобна для реализации на вычислительных машинах.

Пример расчета: методом Эйлера найти зависимость v(S) для данных первого примера при разгоне поезда от 19 км/ч до 40 км/ч.

Сравнивая выражения (10.1) и (10.2) видим, что у соответ­ствует v, х соответствует S, а соответствует. Для скорости v_н=19 км/ч

r v_o= 19 = 5,82 Н/кН (см. рисунок 10.1), выбрав км, получим:

Дальнейшие расчеты сведем в таблицу 10.2. Таким образом, поезд раз­гоняется от скорости 19 км/ч до скорости 40,1 км/ч на расстоянии 1500 м.

Рисунок 10.1 Диаграмма удельных сил

Таблица 10.2

Расчет скорости движения методом Эйлера

В примере разгон от скорости 19 км/ч до скорости 40 км/ч выполнен на расстоянии 1516 м.