28. Ранг матрицы

В матрице размера m x n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно выделить квадратные подматрицы k-го порядка, где k≤min(m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы А.

Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы А обозначается rang A или r(A).

Из определения следует:

1) ранг матрицы размера m x n не превосходит меньшего из её размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n).

2) r(A)=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0.

3) Для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

В общем случае определение ранга матрицы перебором всех миноров достаточно трудоемко. Для облегчения этой задачи используются элементарные преобразования, сохраняющие ранг матрицы:

1) Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2) Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3) Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4) Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5) Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменится при элементарных преобразованиях матрицы.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к ступенчатому виду:

Ранг ступенчатой матрицы равен r ,

так как имеется минор r-го порядка неравный нулю │А│= а₁₁∙а₂₂ ∙…∙а_rr.

29. Линейные операторы и матрицы

Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства то говорят: что задан оператор (преобразование, отображение) A(x), действующий из в и записывают y=A(x).

Оператор называется линейным, если для любого вектора x и y пространства и любого числа λ выполняются следующие соотношения:

Выберем в пространстве базис

и запишем разложение произвольного вектора х по данному базису:

В силу линейности оператора получим:

т.к так же вектор из ,то его можно разложить по базису.

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг r матрицы А - рангом

оператора .

Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Справедливо и обратное: Всякой матрице n-го порядка соответствует оператор n-мерного пространства.

Определим действия над линейными операторами:

1. Суммой двух линейных операторов и называется оператор определяемый

равенством

2. Произведением линейного оператора на число λ называется оператор

определяемый

Произведением линейных операторов и называется оператор

определяемый

Определим нулевой оператор переводящий все векторы пространства в нулевые вектора

и тождественный оператор действующий по правилу

Теорема Матрицы А и А* линейного оператора в базисах е₁,е₂, ..е_n и е₁^*,е₂^*, ..е_n^* связаны соотношением А*=С^-1АС, где С – матрица перехода от старого базиса к новому.