8. Функция нескольких переменных и их непрерывность.
Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1, х2... хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z.
Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (x1, х2 , ... хn).
Например, формула z = π x12 х2 задает объем цилиндра z как функцию двух переменных: радиуса основания x1 и высоты х2 .
Линией уровня функции двух переменных z = f (x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и тоже и равно С.
9 Производные функций нескольких переменных.
Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда функция z = f (x,у) получит наращенное значение f (x + Δх, у + Δу).
Величина Δz = f (x + Δх, у + Δу) – f (x,у) называется полным приращением функции в точке (х,у).
Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции, соответственно
Δхz = f (x + Δх, у) – f (x,у) и Δуz = f (x , у + Δу) – f (x,у) называются частными.
Функция z = f (x,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0),если
1. Она определена в этой точке и некоторой её окрестности.
2.
2.
Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует), т.е.
10. Дифференциалы функции нескольких переменных.
Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно Dх и Dу приращения функции Dz в точке (х, у).
Для
функции произвольного числа переменных:
11. Поиск экстремума функции одной переменной.
Точка х0 называется точкой минимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х0 выполняется неравенство ¦( х) ³ ¦( х0).
Точка х1 называется точкой максимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х1 выполняется неравенство ¦( х) £ ¦( х1).
Значение функции в точках х0 и х1 называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.
Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ¦( х) имела экстремум в точке х0, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (¦¢( х0) = 0) или не существовала.
Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.
Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х0 производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х0 есть точка максимума функции у =¦( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.
Схема исследования функции на экстремум
1.Найти производную у¢ = ¦¢( х).
2.Найти стационарные точки функции, в которых производная ¦¢( х) = 0 или не существует.
3.Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.
4.Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.