30. Собственные векторы линейных операторов

Вектор Х , не равный нулю, называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что АХ = λХ.

Число λ называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору Х.

Уравнение

называется характеристическим уравнением матрицы А.

31.Решение системы линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера.

Метод Крамера

Теорема Крамера. Пусть Δ – определитель матрицы системы А, а Δ_j – определитель матрицы, полученный из матрицы заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда если Δ не равен нулю, то система имеет единственное решение, определённое по формулам Крамера:

где j=1..n.

32. Решиение системы матричной формы

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij, b_i (i =1..m; j =1..n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

Решением системы (1) называется такая совокупность n чисел (x₁=k₁, x₂=k₂, … x_n=k_n), при подстановке которых в (1) каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Совместная система, называется определенной,

если она имеет единственное решение, и

неопределенной, если она имеет более одного

решения.

Запишем систему (1) в матричной форме. Обозначим: где А – матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы, Х – матрица-столбец переменных; В – матрица-столбец свободных членов.Систему (1) можно записать в виде: АХ=В.

33. Метод Гаусса.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида.

Рассмотрим матрицу:

эта матрица называется расширенной матрицей системы (1), так как в нее кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.

34.Сущность и условия применения теории вероятностей.

35. Основные понятия тв.

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие является основным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

• достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

• невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

• случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

Виды событий

• Случайные события A₁,A₂,…,A_n образуют полную группу событий, если в результате испытания непременно должно появиться хотя бы одно из них .

• Случайные события A₁,A₂,…,A_n называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

• Случайные события A₁,A₂,…,A_n называются единственно возможными, если в результате испытаний происходит какое-либо одно и только одно из этих событий.

• Равновозможные события - несколько событий в данном опыте, ни одно из которых не является объективно более возможным, чем другое.

Классическое определение вероятности основано на понятии равновозможности событий.

Равновозможность событий означает, что нет оснований предпочесть какое-либо одно из них другим.

Рассмотрим испытание, в результате которого может произойти событие A. Каждый исход, при котором осуществляется событие A, называется благоприятным событию A.

Вероятностью события A (обозначают P(A)) называется отношение числа исходов, благоприятных событию A (обозначают k), к числу всех исходов испытания – N т.е. P(A)= k/ N.

Из классического определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

• Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.

• Вероятность достоверного события равна единице.

• Вероятность невозможного события равна нулю

Статистическое определения вероятности

• Пусть произведена серия из N испытаний, в каждом из которых могло появиться или не появиться событие А. Тогда абсолютной частотой (или частотой) F называется число появлений события А, а относительной частотой (или частостью) f(A)—отношение абсолютной частоты к общему числу испытаний: f(A)= F/N.

• f(А)P(A) при N  