Вопрос 1 Графики и свойства основных элементарных функций.

Свойства:

1.Четность и нечетность. Функция у = f(х) называется четной, если для любых значений х из область определения f(-х)= f(х) и нечетной, если f(-х) = - f(х). В противном случае функция у = f(х) называется функцией общего вида.

Например, функция у = х, является нечетной, так как f(-х) = - х = -f(х).

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Монотонность. Функция у = f(х) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции.

Функции возрастающие и убывающие называются строго монотонными функциями.

Например, функция у = х, является возрастающей для всех хÎR.

3.Ограниченность. Функция у = f(х) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М, что | f(х)| £ М для любого хÎ Х.

Например, функция у = sin х ограниченна на всей числовой оси, т.к. | sin х | £ 1 для любого хÎR.

4.Периодичность. Функция у = f(х) называется периодической с периодом Т ¹ 0, если для любых х из области определения функции f(х+Т) = f(х).

Например, функция у = sin х имеет наименьший положительный период Т = 2p, так как для любых х sin (х+2p) = sin х.

Основными элементарными функциями называются следующие функции:

степенная у = хⁿ, где nÎN;

показательная у = а^х, где а > 0, а ¹ 1;

логарифмическая у = log_ax ,где а > 0, а ¹ 1;

тригонометрические: у = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Вопрос 2 Предел функции в точке

Число А называется пределом функции у = f(х) при х, стремящимся к х₀, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число d ( зависящее от e), что для всех х , не равных х₀ и удовлетворяющих условию

| х- х_0\< d,

верно неравенство:

| f(x)– А | < e

Этот предел функции обозначается:

Предел функции в бесконечности

Число А называется пределом функции у = f (х) при х, стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа e, найдется такое положительное число S (зависящее от e), что для всех х таких, что

|х| > S, верно неравенство: |f(x)–А|<e|

Этот предел функции обозначается: