Вопрос 35 Основные понятия

В теории вероятностей испытанием принято называть эксперимент, который (хотя бы теоретически) может быть произведён в одних и тех же условиях неограниченное число раз.

Результат или исход каждого испытания назовём событием. Событие является основным понятием теории вероятностей. Будем обозначать события буквами А, В, С.

Виды событий:

достоверное событие - событие, которое в результате опыта обязательно произойдет.

невозможное событие - событие, которое в результате опыта не может произойти.

случайное событие - событие, которое может произойти в данном опыте, а может и не произойти.

Вопрос 36 Вероятностное пространство

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта) в аксиоматике А. Н. Колмогорова. Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, необходимую для его математического анализа средствами теории вероятностей. Любая задача теории вероятностей решается в рамках некоторого вероятностного пространства, полностью заданного изначально. Задачи, в которых вероятностное пространство задано не полностью, а недостающую информацию следует получить по результатам наблюдений, относятся к области математической статистики.

Вопрос 37 Элементы комбинаторики. Соединения

Пустъ А – множество, состоящее из конечного числа элементов a₁, a_2, a₃…a_n. Из различных элементов множества А можно образовывать группы. Если в каждую группу входит одно и то же число элементов m (m из n), то говорят, что они образуют соединения из n элементов пo m в каждом. Различают три вида соединений: размещения, сочетания и перестановки.

Перестановки

Соединения, в каждое из которых входят все n элементов множества А и которые, следовательно, отличаются друг от друга только порядком элементов называются перестановками из n элементов. Число таких перестановок обозначается символом Р_n.

Tеорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно Р_n = n (n − 1) (n − 2) (n − 3)…3 ∙ 2 ∙ 1 = 1 ∙ 2 ∙ 3…(n − 1) n = n!

Размещения

Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n) взятых из n элементов множества A , отличающихся друг oт друга или составом элементов, или их порядком называются размещениями из n элементов по m в каждом. Число таких размещений обозначается символом

Tеорема 2. Число всех размещений из n элементов по m вычисляется по формуле:

Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

Сочетания

Соединения каждое из которых содержит m различных элементов (m < n) взятых из n элементов множества А, отличающихся друг от друга по крайней мере одним из элементом (только составом) называются сочетаниями из n элементов по m в каждом. Число таких сочетаний обозначается символом

Теорема 3. Число всех сочетаний из n элементов по m определяется формулой:

Иногда для записи числа размещений используют следующую формулу:

Вопрос 38 Непосредственный подсчет вероятностей

 События А и В называются равными, если осуществление события А влечет за собой осуществление события В и наоборот. 

Объединением или суммой событий А_k называется событие A, которое означает появление хотя бы одного из событий А_k.

Пересечением или произведением событий A_k  называется событие А, которое заключается в осуществлении всех событий A_k.

      Разностью событий А и В называется событие С, которое означает, что происходит событие А, но не происходит событие В.

Дополнительным к событию А называется событие , означающее, что событие Ане происходит.

          Элементарными исходами опыта называются такие результаты опыта, которые взаимно исключают друг друга и в результате опыта происходит одно из этих событий, также каково бы ни было событие А, по наступившему элементарному исходу можно судить о том, происходит или не происходит это событие.

            Совокупность всех элементарных исходов опыта называется пространством элементарных событий.