Свойства дифференциала

1.dС = 0. 4. d(uv) = vdu + udv.

2. d(С u) = C du. 5. d(u/v) = (vdu – u dv)/ v2.

3.d(u + v) = du +dv

Вопрос 11 Экстремум функции

Точка х₀ называется точкой минимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство ¦( х) ³ ¦( х₀).

Точка х₁ называется точкой максимума функции ¦( х), если в некоторой окрестности точки х₁ выполняется неравенство ¦( х) £ ¦( х₁).

Значение функции в точках х₀ и х₁ называются соответственно максимумом и минимумом функции. Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремума функции.

Необходимое и достаточное условие экстремума

Теорема (необходимое условие экстремума) Для того чтобы функция у = ¦( х) имела экстремум в точке х₀, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (¦¢( х₀) = 0) или не существовала.

Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, т.е. производная равна нулю или не существует, называются стационарными. Обращаем внимание на то, что эти точки должны входить в область определения функции.

Теорема (достаточное условие существования экстремума). Если при переходе через точку х₀ производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка х₀ есть точка максимума функции у =¦( х), а если с минуса на плюс, то - точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум

Найти производную у¢ = ¦¢( х).

Найти стационарные точки функции, в которых производная ¦¢( х) = 0 или не существует.

Исследовать знак производной слева и справа от каждой стационарной точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции.

Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.

Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных

Как и в случае одной переменной, функция z = f (x,у) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки.

Точка М₀ (х₀, у₀) называется точкой максимума (минимума) функции z = f (x,у), если существует окрестность точки М такая, что для всех точек (х, у) из этой окрестности выполняется неравенство:

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка М₀ (х₀, у₀) – есть точка экстремума дифференцируемой функции z = f (x,у). Тогда частные производные и в этой точке равны нулю. Если частные производные и сами являются дифференцируемыми функциями, то можно найти также и их частные производные, которые называются частными производными второго порядка.

Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция z = f (x,у):

1) определена в некоторой окрестности стационарной точки (х₀,у₀), в которой

2) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка (х₀, у₀) =А, (х₀, у₀) =(х₀, у₀) = В и (х₀, у₀) =С.

Тогда, если Δ=АС-В²>0, то в точке(х₀, у₀) функция имеет экстремум, причем, если А<0 – максимум, если А>0 – минимум.

В случае Δ= АС-В² <0, функция экстремума не имеет.

Если Δ =АС-В² =0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым.

Схема исследование функции двух переменных на экстремум:

1) Найти частные производные

2) Решить систему уравнений, и найти стационарные точки функции.

3) Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в каждой стационарной точке и с помощью достаточного условия сделать вывод о наличии экстремумов.