- •Вопрос 1 Графики и свойства основных элементарных функций.
- •Вопрос 2 Предел функции в точке
- •Предел функции в бесконечности
- •Вопрос 3.1 основные теоремы о пределах
- •Вопрос 3.2
- •Вопрос 4 Непрерывность функции
- •Вопрос 5 точки разрыва первого и второго урода-рода гг…
- •Вопрос 6 производная и дифференциал
- •Вопрос 7.1 Теорема Ферма
- •Вопрос 7.2 Теорема Роля
- •Вопрос 7.3 Теорема Лагранжа
- •Вопрос 8 Функция нескольких переменных и их непрерывность
- •Дифференциалы высших порядков
- •Свойства дифференциала
- •Вопрос 11 Экстремум функции
- •Необходимое и достаточное условие экстремума
- •Вопрос 12 поиск экстремума функций двух переменных
- •Вопрос 13 Неопределенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла:
- •Вопрос 14 Определенный интеграл, основные теоремы
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Вопрос 15
- •Вопрос 16 Прямая линия на плоскости, условия перпендикулярности и параллельности двух прямых
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 19 Парабола: определение и вывод канонического уравнения
- •Вывод уравнения параболы
- •Вопрос 20 Прямая и плоскость в пространстве
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Вопрос 22 Матрицы и их классификация
- •Вопрос 23 Операции над матрицами
- •Вопрос 24 Определители и их свойства
- •Свойства определителей
- •Теорема (частный случай теоремы Лапласа)
- •Вопрос 25 Определение обратной матрицы
- •Алгоритм нахождения обратной матрицы
- •Вопрос 26 н-мерное линейное векторное пространство
- •Вопрос 27 Системы векторов, операции над ними
- •Вопрос 28 Ранг матрицы и теорема о ранге матрицы
- •Вопрос 29 линейные операторы и матрицы
- •Вопрос 31 Решение системы линейных уравнений с помощью определителей, метод Крамера
- •Вопрос 32 Решение системы линейных уравнений в матричной форме
- •Вопрос 33 Метод Гаусса
- •Вопрос 34, 35 Сущность и условия применения теории вероятности.
- •Вопрос 35 Основные понятия
- •Вопрос 36 Вероятностное пространство
- •Вопрос 37 Элементы комбинаторики. Соединения
- •Вопрос 39 Теорема сложения вероятностей
- •Вопрос 40 Теорема умножения вероятностей.
- •Вопрос 41 Формула полной вероятности
- •Вопрос 42 Теорема Байеса
- •Вопрос 43 Формула Бернулли
- •Вопрос 44 Случайные величины, способ их описания
- •Вопрос 45 Основные числовые характеристики непрерывной случайной дискретной величины.
- •Вопрос 46 Основные числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •Вопрос 47 Биноминальный закон распределения вероятностей случайных величин
- •Вопрос 48 числовые характеристики систем двух случайных величин
- •Зависимость между случайными величинами
Вопрос 13 Неопределенный интеграл, основные теоремы
Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка F ¢(х) = f (х).
Совокупность всех первообразных для функции f (х) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f (х) и обозначается ò f (х) dx , где ò - знак интеграла, f (х) – подынтегральная функция, f (х) dx – подынтегральное выражение.
Свойства неопределенного интеграла:
1.Производная от неопр. интеграла равна подынтегральной функции, т.е. (ò f (х) dx) ¢= f (х).
2.Дифференциал неопр. инт-ла равен подынтегральному выражению, т.е. d (ò f (х) dx) = f (х) dх.
3.Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е. ò dF(x) =F(x) + C.
4.Неопр. интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме неопределенных интегралов от этих функций, т.е. ò [f (х) + g (x)] dx =ò f (х) dx + ò g (х) dx.
5.Постоянный множитель можно выносить за знак неопр. инт-ла, т.е. ò a f (х) dx =a ò f (х) dx.
Вопрос 14 Определенный интеграл, основные теоремы
К понятию определенного интеграла можно прийти при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции АВСD. На каждом отрезке [xi-1,xi] выберем некоторую точку ξi и обозначим ∆xi=xi -xi-1.Сумму вида
будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b].
Определенным интегралом называется предел n-ой интегральной суммы при
Геометрический смысл определенного интеграла: это площадь криволинейной трапеции, ограниченной слева прямой х=а, справа прямой x=b, сверху кривой y=f(x),снизу осью Ох.
Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства неопределенного интеграла
6. если то
Теорема о среднем. Пусть функция f(x) непрерывна на [a,b], тогда найдется такая точка
что
Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема также на произвольном отрезке [a,х], вложенном в [a,b]. Положим
где х принадлежит отрезку [a,b].
Функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема. Пусть функция y=f(x) непрерывна на интервале [a,b] и F(x) –любая первообразная для f(x) на [a,b]. Тогда определенный интеграл от функции f(x) на [a,b] равен приращению первообразной F(x) на этом интервале, т. е.
Формула – формула Ньютона-Лейбница. Она утверждает, что определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Для вычисления определенного интеграла нужно найти первообразную подынтегральной функции (неопределенный интеграл) и из значения первообразной при верхнем приделе вычесть значение первообразной при нижнем пределе интегрирования