Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножится на это число λ.

3. При транспонировании матрицы её определитель не изменится.

4. При перестановке 2-х строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

5. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.

6. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то её определитель равен нулю.

7. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то её определитель умножится на это число λ.

8. При транспонировании матрицы её определитель не изменится.

9. При перестановке 2-х строк (столбцов) матрицы её определитель меняет знак на противоположный.

10. Если матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то её определитель равен нулю.

Теорема (частный случай теоремы Лапласа)

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Δ=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in.

Значение теоремы состоит в том, что позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению более простых определителей (n-1)-го порядка.

Вопрос 25 Определение обратной матрицы

Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица: А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

Если определитель матрицы отличен от нуля, то такая матрица называется невырожденной, или неособенной; в противном случае (при │А│=0 ) – вырожденной, или особенной.

Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы.

Теорема о существовании обратной матрицы. Обратная матрица А^-1 существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная.

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Находим определитель исходной матрицы.

2.Если │А│=0, то матрица А вырожденная и обратной матрицы А^-1 не существует.

Если определитель матрицы А не равен нулю, то обратная матрица существует.

3. Находим А^T, транспонированную к А.

4. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы и составляем из них присоединенную матрицу .

5. Вычисляем обратную матрицу по формуле:

6. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы, исходя из её определения А^-1∙А = А ∙А^-1 = Е.

Вопрос 26 н-мерное линейное векторное пространство

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде Х=(х₁,х₂,…х_n) , где х_i – i-я компонента вектора Х.

Два n-мерных вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты, т.е. Х=У, если x_i=y_i, i=1…n.

Суммой двух векторов одинаковой размерности n называется вектор Z=X+Y, компоненты которого равны сумме соответствующих компонент слагаемых векторов, т.е. z_i=x_i+y_i , i=1…n.

Произведением вектора Х на действительное число λ называется вектор V=λX, компоненты которого равны произведению λ на соответствующие компоненты вектора Х, т.е. v_i=λx_i , i=1…n.

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие приведённым выше свойствам, называется векторным пространством.

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным свойствам называется Евклидовым пространством. Длиной (нормой) вектора Х называется корень квадратный из его скалярного квадрата.

Угол φ между двумя векторами определяется по формуле:

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Векторы n-мерного Евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна 1,т.е. если

Размерность и базис векторного пространства

Вектор A_m называется линейной комбинацией векторов A₁,A₂,..,A_m-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:

A_m = λ₁A₁ + λ₂A₂ + …+ λ_m-1 A_m-1 Векторы A₁,A₂,..A_m векторного пространства R, называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ₁,λ₂,…λ_m, не равные одновременно нулю, что λ₁A₁ + λ₂A₂ + … + λ_m A_m =0. В противном случае векторы A₁,A₂,..A_m называются линейно независимыми.

Векторное пространство R, называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые n+1 векторов уже являются зависимыми.

Число n называется размерностью векторного пространство R и обозначается dim(R).

Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

Теорема. Каждый вектор Х векторного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.