Вопрос 8 Функция нескольких переменных и их непрерывность
Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений (x1, х2... хn) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана функция нескольких переменных z = f (x1,х2,... хn).
Например, формула z = π x12 х2 задает объем цилиндра z как функцию двух переменных: радиуса основания x1 и высоты х2 .
Линией уровня функции двух переменных z = f (x, у) называется множество точек на плоскости, таких, что во всех этих точках значение функции одно и тоже и равно С.
Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда функция z = f (x,у) получит наращенное значение f (x + Δх, у + Δу). Величина Δz = f (x + Δх, у + Δу) – f (x,у) называется полным приращением функции в точке (х,у).
Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции, соответственно Δхz = f (x + Δх, у) – f (x,у) и Δуz = f (x , у + Δу) – f (x,у) называются частными.
Функция z = f (x,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0),если
1. Она определена в этой точке и некоторой её окрестности.
2.
Вопрос 9 производные функций нескольких переменных Дадим аргументу х приращение Δх, аргументу у – приращение Δу. Тогда функция z = f (x,у) получит наращенное значение f (x + Δх, у + Δу). Величина Δz = f (x + Δх, у + Δу) – f (x,у) называется полным приращением функции в точке (х,у). Если задать только приращение аргумента х или только приращение аргумента у, то полученные приращения функции, соответственно
Δхz = f (x + Δх, у) – f (x,у) и Δуz = f (x , у + Δу) – f (x,у) называются частными.
Функция z = f (x,у) называется непрерывной в точке М0(х0,у0),если
1.
Она определена в этой точке и некоторой
её окрестности.
2.
Частной
производной
функции нескольких переменных
по одной из этих переменных называется
предел отношения соответствующего
частного приращения функции к приращению
рассматриваемой независимой переменной
при стремлении последнего к нулю (если
этот предел существует), т.е.
Вопрос 10 Дифференциалом функции называется главная линейная относительно Dх часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной dy = f ¢(x) Dх.
дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.
Формула для дифференцирования имеет вид:
dy = f ¢(x) dх или f ¢(x) = dy / dx.
Дифференциалы высших порядков
Рассмотрим функцию у = ¦( х), тогда ее дифференциал запишется так dy = f ¢(x) dх.
Рассматривая dy как функцию от х, можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала данной функции dy = f ¢(x) dх называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2y. По определению d 2y = d (dy). Аналогично дифференциалом n-го порядка dny называется дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка, т.е d n y = d (d n-1 y).
Дифференциал n-го порядка вычисляется по формуле:
d n y = ¦ (n) (х) d х n.