Вопрос 47 Биноминальный закон распределения вероятностей случайных величин

Дискретная случайная величина X имеет биномиальный закон распределения, если она принимает значения 0,1, 2,…,m,….,n с вероятностями р(m) = Р(Х = m) = C_n^m р^m q^n-m, где 0 < p <1, q = 1─ р.

Биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х = m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Теорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по биномиальному закону, даются формулами

M(X) = np, D(X) = npq.

Следствие. Математическое ожидание величины (m/n) в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, т.е. M(m/n) = р, D(m /n)=pq/n.

Распределение Пуассона Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает значения 0,1 2,…,m,…,n с вероятностями р(m) = Р(Х=m) =е^─λ λ^m/m! , где λ = np.

Tеорема. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона. т.е. М(Х) = λ, D(X)= λ.

Распределение Пуассона ─ частный случай биномиального закона распределения для относительно больших n и относительно малых р. Равномерный закон распределения Непрерывная случайная величина X имеет равномерный закон распределения на отрезке [a, b], если её плотность вероятности постоянна на этом отрезке и равна нулю вне его, т.e.

Теорема. Функция распределения случайной величины X, распределенной по равномерному закону, есть

Её математическое ожидание:

и дисперсия

Нормальный закон распределения Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и s² , если её плотность вероятности имеет вид:

Кривую нормального закона распределения, называют гауссовой кривой.

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины X, распределённой по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а дисперсия - параметру s², т. е. М(Х) = a, D(X)= s².

Функция распределении случайной величины X, распределённой по нормальному закону имеет вид:

В частном случае, когда а=0, а s²=1 нормальное распределение называется стандартным.

Теорема 2. Функция распределении случайной величины X, распределённой по стандартному нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф₀(х) по формуле

где

В общем случае

Вопрос 48 числовые характеристики систем двух случайных величин

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при X=x (x- определенное возможное значение X) называют сумму произведений возможных значений Y на их условные вероятности :

Для непрерывных величин:

где - условная плотность случайной величины Y при X=x.

Условное математическое ожидание есть функция от x , т.е.

( ) называют функцией регрессии Y на X.

Аналогично определяется условное математическое ожидание случайной величины X и функции регрессии X на Y.