Вопрос 6 производная и дифференциал

Пусть функция у = ¦(х) определена на промежутке Х. Возьмем точку хÎХ. Дадим значению х приращение Dх¹0, тогда функция получит приращение Dу = ¦( х+Dх ) -¦( х ).

Производной функции у = ¦(х) называется предел отношения приращения функции Dу к приращению аргумента Dх при стремлении Dх к нулю.

Если функция в точке х₀ имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке.

Производная функции у = ¦(х) в точке х₀ является значением функции ¦¢( х) в точке х₀.

Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка Х, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Правила дифференцирования

• Производная постоянной равна нулю, т.е. С¢=0.

• Производная аргумента равна 1, т.е. х¢=1

• Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е. (u + v)¢ = u¢ + v¢.

• Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле: (u v)¢ = u¢ v + u v¢.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (Сu)¢ = Cu¢.

• Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:

Теорема. Если у = f(u) и u = j (x) – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е у¢ = ¦¢(u)u¢.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n –1)-го порядка.

Обозначение производных: ¦¢¢( х) - второго порядка, ¦¢¢¢( х) – третьего порядка. Производные более высокого порядка обозначаются следующим образом: ¦ ⁽ⁿ⁾ ( х) – производная n-го порядка.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле.

Итак, если имеется неопределенность вида [0/0] [¥/¥], то:

Вопрос 7.1 Теорема Ферма

Если дифференцируемая на промежутке функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е. f′(x₀)=0.

Вопрос 7.2 Теорема Роля

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

• непрерывна на [a,b];

• дифференцируема на [a,b];

• на концах отрезка принимает равные значения, т.е. f(a)= f(b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ε ( a,b), в которой производная равна нулю (f′(ε)=0).

Вопрос 7.3 Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям:

• непрерывна на [a,b];

• дифференцируема на [a,b].

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка С( a,b), в которой производная равна частному от деления приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке, т.е.