x = 0.3333 Q1 = -1.1481 x = 1.0000 Q = 1.0000

Рис. 1.3. Окончание

1.2.Функции многих переменных

Рассмотрим особенности оптимизации целевой функции Q x для n

действительных переменных без ограничений
		Q x extr,
			x X				(1.3)
		X x : x E n .
Необходимым условием существования экстремума функции Q x яв-
ляется равенство нулю ее градиента в точке экстремума x
		Q x
		x
gradQ x		Q x		Q x		, i ,...,n.
		x	, или				(1.4)
				xi
		...
		Q x
		xn
Градиент функции		gradQ x - это вектор, направленный в сторону

наибольшего возрастания функции Q x в точке х, а в точке экстремума он

равен нулю.

Достаточным условием существования минимума функции Q x является положительно определенная матрица Гессе (гессиан) в точке экстремума

				Q x
				x
	Q x
G x				Q x
	xi x j			x x
			...
				Q x
				xn x

	Q x				...
	x x
	Q x				...
	x
...
	Q x		...
	xn x				...

	Q x
	x x
		n
	Q x				(1.5)
				.
	x xn
...
	Q x
	xn

11

Необходимыми и достаточными условиями максимума функции Q x является: gradQ x , G x отрицательно определена.

Если G – квадратная симметричная матрица, x – вектор-столбец, то квадратичной формой матрицы G называется уравнение

n n
FG x xT G x qij xi x j .	(1.6)

i j

Матрицу G, соответствующую квадратичной форме, иногда называют положительно определенной (отрицательно определенной), если квадратичная форма FG x является положительно определенной (отрицательно оп-

ределенной).

Квадратичная форма FG x является положительно определенной то-

гда, и только тогда, когда все характеристические корни G положительны или, что эквивалентно, если все главные миноры матрицы положительны.

Квадратичная форма FG x отрицательно определена тогда, и только

тогда, когда все характеристические корни G отрицательны или, что эквивалентно, когда у главных миноров чередуются знаки «плюс» и «минус».

Пример 1.2. Для функции Q x x

x x x

x

x

найти и исследовать экстремум.

В соответствие с (1.4) находим

x

gradQ x x

, откуда x

;

x

матрица Гессе согласно (1.5) G x

положительно определена,

т.к. все собственные значения положительны и равны 2.

Следовательно, в точке x T функция Q(x) достигает миниму-

ма.

Для нахождения экстремума функции n-переменных также необходимо ее графическое представление, которое возможно только в пространстве двух переменных n . Для n можно рекомендовать предварительную табуляцию функцию по каждой переменной, xi , i ,...,n , при условии, что меня-

ется одна переменная, остальные постоянны. Это равносильно сечению искомой поверхности Q x плоскостями параллельными координатным плос-

костям. Сечение лучше всего проводить через точки экстремума.

Построим трехмерные графики поверхности и графики линий равного уровня для примера 1.2. Поскольку функция зависит от трех переменных

12

n , а график строится для n , то переменную x (это лучший вариант, т.к. x ).

Пос троение графика поверхнос ти ус коренным путем (заданием функции)

Q(x1 x2 x3) x12 x22 x32 4 x1 8 x2 12 x3 100 x3 6

Q1(x1 x2) Q(x1 x2 x3)

Q1

Q1

Пос троение графика поверхнос ти путем с оздания мас с ива данных0 дляx1 4

2 x2 6		4 x3 8

n 40			k 40				i 0 n j 0 k
x1 a1				b1 a1					i	x2 a2
i						n				j
M	i j	Q		x1 x2 x3
				i		j

	a1	0		b1	4	a2 2	b2 6	a3 4	b3 8
b2		a2		j
		k

M M

Рис. 1.4. Построение трехмерного графика для n 3

13

График поверхнос ти Q2(x2,x3)

x1

2 x2i

a2

b2 a2

i

x3j a3

b3 a3

j

n

k

Z Q x1 x2 x3 i j i j

Z Z

Рис. 1.4. Окончание

14