Упражнение 1. Покоординатный перевод из одной системы координат в другую.

1. Наберите в командном окне « helpcart2pol»

>> helpcart2pol

С помощью команды «[phi,r]=cart2pol(3,3)» мы можем получить полярные координаты некоторой точек с декартовыми (Cartesian- картезианскими) координатами (3,3) и (-3,-3)

>> [phi, r]=cart2pol(3,3)

phi = 0.7854 % phi=pi/4, phi = 0.7854

r = 4.2426

>> r=sqrt(3^2+3^2)

r = 4.2426

>> phi=pi/4

phi = 0.7854

>> [phi, r]=cart2pol(-3,-3)

phi = -2.3562

r= 4.2426

Приведем «письменное» решение:

Действительно, у точки с координатами (3,3)

расстояние до начала координат –

полярный радиус

а угол отклонения соответствующего радиус-вектора, с началом в начале координат и концом в точке (3,3) от оси OX (полярной оси) –

полярный угол У точки с координатами (-3,-3)

расстояние до начала координат – то же

полярный радиус ,

а угол отклонения соответствующего радиус-вектора, с началом в начале координат и концом в точке (-3,3) от оси положительного направления оси OX (полярной оси) –

полярный угол

Ниже (на рис. 1) видно иллюстрацию данного примера. Позже вы можете строить такие же рисунки.

Рис. 1.

2. Наберите в командном окне « helppol2cart»

>> helppol2cart

С помощью команды «[x,y]=pol2cart(-pi/4, 2*sqrt(2))» мы можем получить декартовые координаты некоторой точки с полярными углом и радиусомМы должны будем получить декартовые координаты (2, -2) точки, расположенной в четвертом квадранте координатной плоскости.

>> [x,y]=pol2cart(-pi/4,2*sqrt(2))

x = 2

y = -2

2. Плоские кривые.

   1. Понятие уравнения линии на плосоксти.

Предположим, что на плоскости заданы декартова система координат некоторая линия

Рассмотрим уравнение G (x, y) = 0, связывающее две переменныеxинад каким-то полемF(действительныхRили комплексныхCчисел).

Уравнениеназывается уравнением линиитносительно заданной системы координат, если уравнениюудовлетворяют координатыюбой точки, лежащей на линиии не удовлетворяют координатыи одной точки, не лежащей на линииСогласно этому определению сама линияредставляет собойгеометрическое место точек над полем F, координаты которых удовлетворяют уравнению.

Если в заданной системе координат уравнениеявляется уравнением линиибудем говорить, чтоопределяет линиюНапример, линияL, заданная уравнением- мнимая окружность - содержит пустое множество точек над полем действительных чиселR.

Линия азываетсяалгебраической, если в некоторой декартовой системе координат она определяется уравнением

G (x, y) = 0 ,

в котором G (x, y) - алгебраический полином (т.е. сумма конечного числа слагаемых вида, где- целые,- некоторые постоянные поляR).

Если при этом G (x, y) – алгебраический полином порядкаn(n= 1, 2, 3…), то линияназываетсялинией порядка n.

Например, окружность, парабола – алгебраические линии второго порядка. Уравнение окружности имеет вид . Уравнение параболы -.

Уравнения прямой на плоскости, уравнение плоскости - уравнения первого порядка. Такие уравнения называются линейными. И мы работали с линейными объектами в предыдущем практикуме.

В качестве примеров алгебраических кривых, задаваемых уравнениями более высоких степеней, можно указать следующие:

Кривые четвёртого порядка: лемниската Бернулли

(см. Википедии. о прикладном назначении)

и овал Кассини(см. Википедию)

Кривые шестого порядка: астроидаинефроида.

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

Примеры: Синусоида,Циклоида,Спираль Архимеда,Трактриса,Цепная линия,Гиперболическая спираль.

Информацию о данных кривых можно посмотреть в Википедии, пройдя по ссылкам. А также в (Л.4, стр. 57) можно познакомиться с основными алгебраическими и трансцендентными кривыми второго порядка. Во втором семестре в курсе математического анализа вы будете с ними работать. С некоторыми из них мы познакомимся ниже.