2. Вращение прямой вокруг параллельной ей прямой. Упражнение 16.

Сделать анимацию, вращения прямой вокруг параллельной ей прямой.

Прямая L– прямая параллельная осиOX

OX – ось,вокруг которой вращается прямаяL.(Что получится?)

3. Вращение двух пересекающихся прямых вокруг скрещивающейся с ними прямой. Упражнение 17**.

Составить уравнения двух пересекающихся прямых в пространстве, скрещивающихся с осью OZ, их вращением получить однополостный гиперболоид, с осью симметрии OZ.

Однополостный гиперболоидТакже является линейчатой поверхностью. Более того через каждую точкуоднополостного гиперболоида проходят две различные прямые, целиком расположенные на этой поверхности. Его поверхность можно получить, вращая две пересекающиеся прямые, принадлежащие поверхности параболоида вокруг скрещивающейся с ними прямой, то есть вокруг мнимой оси однополосного гиперболоида. (см цветные иллюстрации в начале этого раздела)

7. Построение замкнутых тел, ограниченных несколькими поверхностями.

Поставим задачу:построить тело ограниченное поверхностями,,(плоскость, параболический цилиндр с осьюOZ, параболический цилиндр с осьюOY. )

Рисунок 1 - неприемлем!

Рис. 1

А вот такие рисунки вполне подойдут.

Рис. 2

Разберем сначала более простой пример построения замкнутых тел, ограниченных плоскостями.

Затем приведем программу для построения рис.2

Задача.Построить пирамиду – тело, ограниченное плоскостями

x = 0,y = 0,z = 0,x +y +z = 1, лежащее в первом октанте.

Решение:

% высечем тело, ограниченное

% поверхностями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1

%x>=0, y>=0, z>=0

% сначала построим каркас пирамиды,

%оформление графического окна

hold on, grid on

view(110,14) % картинка будет смотреться так, как мы привыкли %изображать оси ОХУZ в тетради

%параметризуем кривую, которая получается

% на пересечении плоскости x+y+z=1 с

% плоскостью x=0 ( y меняется, x=0!)

y=0:0.05:1; % задаем область изменения параметра y

x=0*y.^0; % x===0

% параметризуем то, что хотели, то есть х и у подставляем в z

z=1-x-y;

plot3(x,y,z,'r','LineWidth',4)

%параметризуем кривую, которая получается

% на пересечении плоскости x+y+z=1 с

% плоскостью y=0 ( x меняется, y=0!)

x=0:0.05:1; % задаем область изменения параметра x

y=0*y.^0; % y===0

% параметризуем, то что хотели, то есть х и у подставляем в z

z=1-x-y;

plot3(x,y,z,'r','LineWidth',4

%параметризуем кривую, которая получается

% на пересечении плоскости x+y+z=1 с

% плоскостью z=0 (x и y меняется, z=0!)

x=0:0.05:1; % задаем область изменения параметра x

y=1-x; % в плоскости z=0 y=1-x !!!

% параметризуем то, что хотели, то есть х и у подставляем в z

z=1-x-y;

plot3(x,y,z,'r','LineWidth',4)

% нарисуем ребра пирамиды

% ребро, идущее по оси OX

plot3(x,0*y.^0,0*z,'r','LineWidth',4)

% ребро,идущеепоосиOY

plot3(0*x.^0,y,0*z,'r','LineWidth',4)

% ребро, идущее по оси OZ

z=x;

plot3(0*x.^0,0*y.^0,z,'r','LineWidth',4)

% нарисуем координатные оси

line([-1.5 0 0;1.5 0 0],[0 -1 0;0 1.5 0],[0 0 -0.5;0 0 2.5],'Color','black')

% одинаковый масштаб

axis equal % всегда должно быть в конце

Рис. 3

% можно сделать штриховку граней пирамиды

% заполним весь объем тела

% штрихованными треугольными сечениями:

% задаем цикл по C

% фиксируем y=C и x=1-C

% при каждом C получаем сдвиг сечения,

% у нас C=0:1/4:1 всего будет 5 сечений,

% но пятое - вырожденное.

% заштрихуем сечение вертикальными вдоль OZ отрезками,

% одно сечение заполняется вертикальными отрезками

% для каждого x2=0:0.01:x;

% (0, C, 0)________до (0, C, 1-0-C)

% (0.01 ,C, 0)________до (0.01, C, 1-0.01-C) итд

% (1-C, C, 0)________до (1-C, C, 1-1-C -C)

% OZ меняется от 0 до 1-x-y

for C=0:1/4:1 % чем меньше шаг, тем плотнее будет заполнение

y=C; x=1-C;

x2=0:0.01:x; y2=C*x2.^0; z2=1-x2-y2;

% 0*z2 соразмерный массив аппликат из нулей.

line([x2;x2],[y2;y2],[0*z2;z2])

end

view(140,28) % теперь повернем так

Получаем

Рис. 4

Теперь, программа для построения рис.2

view(82,36)

hold on, gridon

t=-2:0.1:2;

x1=t;y1=(t.^2)/2;z1=4-(t.^4)/4;

plot3(x1,y1,z1),pause(0.1)

z12=0.*z1;

plot3(x1,y1,z12),pause(0.1)

fory2=0:0.1:2;

x22=sqrt(2*y2); x21=-sqrt(2*y2); x2=x21:0.1:x22;

y21=0.*x2+y2; z21=4-y21.^2;

plot3(x2,y21,z21),pause(0.1)

z22=0.*z21;

plot3(x2,y21,z22),pause(0.1)

end

forz3=0:0.5:4;

x32=sqrt(sqrt(16-4*z3)); x31=-sqrt(sqrt(16-4*z3));

x3=x31:0.1:x32;

y3=(x3.^2)/2;

z31=0.*y3+z3;

plot3(x3,y3,z31),pause(0.1)

end