2. Полярная роза.

и полярные уравнения (n-лепестковой) розы

При n= 3,a= 1 полярное уравнение трех лепестковой розыв декартовой системе координат представляет собой алгебраическое уравнение 4 порядкаДоказательство.

Возьмем функцию заданную в полярных координатах, и попытаемся представить ее в виде уравнения в декартовых координатах.

.

.|*

Таким образом, получаем уравнение трех лепестковой розы в декартовых координатах

.

наиболее ценным, полезным и неожиданным будет представление в декартовой системе координат одно лепестковых роз.

Упражнение 2. Уравнения однолепестковых роз в декартовой системе координат, построение.

Перевести полярные уравнения однолепестковых роз декартовую систему координат, построить графики »в декартовыхкоординатах с помощью функций «ezplot, соблюдая одинаковый масштаб по осям, прокомментировать полученные результаты.

3. Уравнение астроиды

Уравнение представляет собой алгебраическую кривую шестого порядка. Эта кривая называется астроидой.

Астро́ида - плоская кривая, описываемая точкойокружностирадиуса, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса.

Упражнение 3.

Доказать, что уравнение .представляет собой алгебраическую кривую шестого порядка.

Для астроидыв (Л.1, стр. 143) имеется очень интересная программа. Эту кривую описывает точка подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса и катится по ней без скольжения. См. также в приложениях файлscrAstroida.m.

В Википедии наберите «астроида» или пройдите по ссылке http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B4%D0%B0и увидите, как получается астроида в результате движения подвижной окружности, которая касается изнутри неподвижной окружности вчетверо большего радиуса.

4. Различные способы построения линий различных порядков на плоскости.

параметрическое уравнение астроиды.

Способ 1. Построение графика cпомощьюline.

figure

axis equal

hold on

% построение графика c помощью line

t=0:pi/30:2*pi; a=1;

x=a*(cos(t)).^3; y=a*(sin(t)).^3;

axis equal, grid on

line('XData',x,'YData',y,'Color','r','LineWidth',4)

legend ('line','plot')

Способ 2. Построение графика cпомощьюplot.

% построение графика c помощью plot

t=0:pi/30:2*pi; a=1/2;

x=a*(cos(t)).^3; y=a*(sin(t)).^3;

plot(x,y,'m','LineWidth',4)

legend ('plot')

% построение осей координат

line([-1,0;1,0],[0,1;0,-1],'Color','black')

grid on, axis equal

Способ 3. Построение с помощью функции ezplot

Матлаб обладает рядом встроенных функций для упрощенного построения графиков некоторых функций. Одна из таких функций «ezplot». Переменные функции – символьные. Ниже приведем примеры ее использования.

Пример 1.

figure

subplot(1,3,1)

ezplot('x.*y + 4*x.^2 +y.^2 - 1') % строим эллипс

%оформление графика надо размещать после ezplot

axis equal, grid on, axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

subplot(1,3,2)

% внутри ezplot можно размесить ограничения по переменным

ezplot('x.*y + 4*x.^2 +y.^2 - 1',[-1,1])

% [-1,1] означает, что -1<x<1, -1<y<1

% в результате график окажется неполным

axis equal, grid on, axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

subplot(1,3,3)

% внутри ezplot можно размесить ограничения по переменным

ezplot('x.*y + 4*x.^2 +y.^2 - 1',[-1,1, -1.5, 1.5])

% [-1,1, -1.5, 1.5] означает, что -1<x<1, -1.5<y<1.5

axis equal, grid on, axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

Функция ezplotавтоматически заполняет заголовок графической области.

Для того чтобы вручную изменить детали графика: толщину линии, цвет фона, подписать оси и т.д., на панели инструментов нужно включить режим «ShowPlotToolsandDockFigure» -последняя (правая) иконка в верхнем левом углу меню. Нажав на предыдущую иконку можно вернуться к прежнему режиму. Для изменения толщины линии нужно выбрать вDesktop→PlotBrowser, выделить нужную линию и изменить ее по своему усмотрению. Можно нажать на линию правой кнопкой мыши и также изменить цвет и толщину линии. Многое можно сделать, вне режима «ShowPlotToolsandDockFigure». С помощью мыши можно двигать графики относительно друг друга, увеличивать, уменьшать их размер, двигать надписи. Разумеется, для подобных изменений имеются более солидные приемы, относящиеся к дескрипторной графике, но это очень сложно и пока ни к чему (см. соответствующий раздел книги Кривилёв А. В. «Основы компьютерной математики с использованием системыMATLAB»)

Пример 2.

figure

subplot(1,2,1)

ezplot(@(x,y)x.*y + 4*x.^2 +y.^2 - 1)

axis equal, grid on, axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

subplot(1,2,2)

% @(y,x) - меняет местами оси координат и,

% следовательно, поворачивает график

ezplot(@(y,x)x.*y + 4*x.^2 +y.^2 - 1)

axis equal, grid on, axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

Пример 3.

Создайте М-файл в отдельном файле myfun

function z = myfun(x,y,k)

z = x.^k+y.^k - 1;

Применим М-файл ниже в скрипте.

figure

subplot(1,3,1)

ezplot(@(x,y)myfun(x,y,1)) % линия первого порядка k=1

axis equal, grid on, axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

subplot(1,3,2)

ezplot(@(x,y)myfun(x,y,2)) % линия второго порядка k=2

axis equal, grid on, axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

subplot(1,3,3)

ezplot(@(x,y)myfun(x,y,3)) % линия третьего порядка k=3

axis equal, grid on, axis([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

Получили графики кривых первого, второго и третьего порядков соответственно.