Случай 2. Поворот радиус-вектора относительно начала координат.
На рисунке слева
радиус-вектор
поворачивается
на угол α в положительном направлении
. Теперь точкаMпереместилась в
точкуM '. ТочкаMимеет декартовые координаты (x,y).
ТочкаM ' имеет
декартовые координаты (x ',y ').
Найдем формулы пересчета новых координат
по старым. Напомним
- полярный
радиус.
Согласно обоим рисункам
,
,
,
получили формулы перехода от старых координат к новым:
.
(7)
Сравнивая формулы (1) и (3)
(3)
и
(7),
можно сказать, что поворот радиус-вектора на угол α равносильно повороту системы координат в противоположном направлении, так как формула (7) превращается в (3) при замене α на – α.
Задача.Показать, что поворот координатных осейна π/4 против часовой стрелкиравносильно повороту фигуры (прямаяy = 2 x)по часовой стрелке на тот же уголπ/4.
Решение:
Для поворота декартовых осей используем замену координат
clear all
% оформляем график
hold on, axis equal, axis([-10 10 -10 10])
% диапазон для x – две точки.
x=[-4,4];
y=2*x;
% изобразим линию в старой системе координат OXY
plot(x,y,'-g','LineWidth',2)
plot(x(2),y(2),'og','MarkerFaceColor','g','MarkerSize',6)
% построение осей координат
% ось OX
ox=[-9,9];
oy=ox*0;
plot(ox,oy,'-b','LineWidth',2); % ось OX y=0, x - любое
plot(ox(2),oy(2),'ob','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',8)
% ось OY
oy=[-9,9];
ox=oy*0;
plot(ox,oy,'-r','LineWidth',2); % ось OY x=0, y - любое
plot(ox(2),oy(2),'or','MarkerFaceColor','r','MarkerSize',8)
% вводим угол alpha
% отрицательный угол - соответствует
%повороту фигуры по часовой стрелке, а осей координат против ч.с
% положительный угол - соответствует
%повороту фигуры против часовой стрелки, а осей координат по ч.с.
alpha=-pi/4;
% повернем оси координат против ч.с.
% Ось OX: y=0, x - любое, как объект должна быть повернута по ч.с.
% значит формулы для поворота осей
%отличаются от формул для соответствующего поворота тела
%на противоположный угол alpha_axes=-alpha
alpha_axes=-alpha
ox=[-9,9];
oy=ox*0;
x1=ox*cos(alpha_axes)-oy*sin(alpha_axes);
y1=ox*sin(alpha_axes)+oy*cos(alpha_axes);
plot(x1,y1,'--b','LineWidth',2); % ось OX1 y1=0, x1 - любое
plot(x1(2),y1(2),'ob','MarkerFaceColor','b','MarkerSize',8)
% Ось OY: x=0, y - любое, как объект должна быть повернута по ч.с.
oy=[-9,9];
ox=oy*0;
x1=ox*cos(alpha_axes)-oy*sin(alpha_axes);
y1=ox*sin(alpha_axes)+oy*cos(alpha_axes);
plot(x1,y1,'--r','LineWidth',2); % ось OY1 x1=0, y1 - любое
plot(x1(2),y1(2),'or','MarkerFaceColor','r','MarkerSize',8)
% формулы для пересчета координат при повороте фигуры
x=[-4,4];
y=2*x;
x1=x*cos(alpha)-y*sin(alpha);
y1=x*sin(alpha)+y*cos(alpha);
% изобразим повернутую линию
plot(x1,y1,'--m','LineWidth',2);
plot(x1(2),y1(2),'om','MarkerFaceColor','m','MarkerSize',6)
График соответствует повороту осей координат на 45 ° против часовой стрелки.
График соответствует повороту фигуры на 45 ° по часовой стрелке.
Повернем изображение с линией y = 2xтак, чтоб новая система координат встала на место старой.
В новой системе координат старая линия находится там же, где новая линия находится в старой системе координат.
Значит, поворот фигуры по часовой стрелке равносилен повороту старых осей против часовой стрелки на место новых.
Пример 2 Поворот параболы.
Для графика функции y = 2 x2произвести поворот координатных осейна π/4 против часовой стрелки. Отразить результат с помощью функции «plot».
График соответствует повороту осей координат на 45 ° против часовой стрелки.
График соответствует повороту фигуры на 45 ° по часовой стрелке.
Повернем изображение так, чтоб новая система координат встала на место старой.
В новой системе координат старая линия находится там же, где новая линия находится в старой системе координат.
Так как произошел поворот осей против часовой стрелки, то график функции совершил поворот по часовой стрелке.
Задача аналитической геометрии состоит в обратном:
по линии, заданной неким алгебраическим уравнением
,
которое ничего нам не говорит о характере кривой,
найти систему координат, в которой осью симметрии будет новая ось абсцисс, затем определить вид кривой и изобразить ее в старой системе координат вместе с новой.
В этом случае новая система координат будет называться канонической.
Линейная алгебра (раздел квадратичные формы – однородные функции двух переменных) дает нам несколько способов к решению этой задачи. В данном практикуме мы освоим прием, основанный на методе Лагранжа приведения квадратичных форм к каноническому виду. В последнем практикуме мы освоим еще один прием (метод ортогонализации), также относящийся к квадратичным формам.