Способ 4. Построение графика cпомощьюpolar.

Для отображения графиков функции в полярных координатах удобно использовать команду «polar». Так, например, можно реализоватьполярную розу n=3;a=1;phi=0:pi/180:2*pi;

polar(phi, a*sin(n*phi),'r');

При обращении к полярным координатам в средах MATLAB или Wolfram Mathematica, следует отметить, что в этих средах допускается отрицательность радиуса в полярной системе координат, что нарушает взаимно однозначность при сопоставлении декартовой и полярной систем координат.

Например, если мы ничего не предпримем, то в случае с четным n,например,n= 4, мы получим 8 лепестков (а должно быть четыре).

Отрицательные значения радиуса «отражаются» в противоположном направлении полярной оси тносительно полюсаO.

Для того чтобы ограничить r, можно ввести, например, «r=max(0,r)».

n=4; a=1; phi=0:pi/100:2*pi;

r=a*sin(n*phi);

subplot(1,2,1)

polar(phi, r,'r')

title('r=sin(4 phi) – 8 лепестков - неверно')

subplot(1,2,2)

r=max(0,r);

polar(phi, r,'r')

title('r=sin(4 phi) – 4 лепестка - верно')

Но лучше написать свою программу по отбору нужных значений радиусов.

Упражнение 4. Построение полярной розы.

Напишите подобную программу, для

Используйте циклы for end; if end.

n=4; a=1;

for phi=0:pi/100:2*pi;

r=a*sin(n*phi);

if (r>=0) действие end

polar(phi, r,'r');

end

Упражнение 5. Уравнения однолепестковых роз в полярной системе координат, построение.

Построить графики в полярных координатах с помощью функции «polar»Сравните полученные результаты с результатами упражнения 2.

Упражнение 6. Линии в декартовых и полярных координатах.

Построить линии x=1,y=1 в декартовой системе координат с помощью различных команд. Перейти к полярной системе координат, построить линии в полярных координатах с помощью функции «polar». Сравнить, прокомментировать полученные результаты.

3. Преобразование системы координат

   1. Поворот системы координат

Пусть заданы

• прямоугольная декартовая система координат OXY;

• точка M с декартовыми координатами (x,y).

Можно также сказать, что положение точки на плоскости определяются - радиус-вектором точкиM.

(φ, r) - полярные координаты точкиM

Рассмотрим два случая и найдем связь между ними. В первой мы будем рассматривать поворот координатных осей относительно начала координат на угол α (альфа) в положительном направлении. Во второй - поворот радиус-вектора точки Mна угол α (альфа) в положительном направлении относительно начала координат.

Случай 1. Поворот координатных осей относительно начала координат

Назовем OXY- старой системой координат,OX 'Y ' - новой. На рисунке точкаMосталась неподвижной. Теперь у нее есть старые (x,y) и новые (x ',y ') координаты. Составим формулы перехода между старыми и новыми координатами через полярную систему координат. Напомним- полярный радиус.

Согласно рисунку слева

, (1)

, (2)

,

получили формулы перехода от старых координат к новым при повороте координатных осей на угол α (при α >0 против часовой стрелке):

. (3)

Теперь обратно.

Согласно рисунку справа: , (4)

тогда , (5)

, ,

получили формулы перехода от новых координат к старым:

. (6)

При этом в старой системы координат OXY

базисом являются орты ,

базисом новой системы координат - орты ,

Связь между ортами, согласно (3) и (6)

(7), (8).

Что это значит? Например, точка Mимеет старой системе координаты

То есть радиус-вектор точки можно записать .

Найдем теперь, чему равны координаты этой же точки в новой системе координат, при повороте ее относительно старой на 45°. В силу (8) имеем:

- координаты точки в старой и новой системах координат. В новой системе координат координаты точки выглядят «приятней». Целью преобразования системы координат является поиск наиболее «удобной» для изучения объекта системы координат.