- •Порядок выполнения.
- •Системы координат.
- •Упражнение 1. Покоординатный перевод из одной системы координат в другую.
- •Плоские кривые.
- •Понятие уравнения линии на плосоксти.
- •Полярная роза.
- •Упражнение 2. Уравнения однолепестковых роз в декартовой системе координат, построение.
- •Уравнение астроиды
- •Упражнение 3.
- •Различные способы построения линий различных порядков на плоскости.
- •Способ 1. Построение графика cпомощьюline.
- •Способ 2. Построение графика cпомощьюplot.
- •Способ 3. Построение с помощью функции ezplot
- •Способ 4. Построение графика cпомощьюpolar.
- •Упражнение 4. Построение полярной розы.
- •Случай 1. Поворот координатных осей относительно начала координат
- •Случай 2. Поворот радиус-вектора относительно начала координат.
- •Параллельный перенос
- •Упражнение 9. Уравнение окружностей со смещенным центром.
- •Упражнение 10. Кривые второго порядка и их характеристики
- •Упражнение 11. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
- •Упражнение 12 б*. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
- •Поверхности второго порядка.
- •Упражнение 13.
- •Упражнение 14.
- •Упражнение 15.
- •Анимация. Командаpause.
- •Вращение прямой вокруг пересекающей ее прямой.
- •Вращение прямой вокруг параллельной ей прямой. Упражнение 16.
- •Вращение двух пересекающихся прямых вокруг скрещивающейся с ними прямой. Упражнение 17**.
- •Построение замкнутых тел, ограниченных несколькими поверхностями.
- •Упражнение 18.
- •Задание для самостоятельной работы
- •Темы для презентаций:
- •Контрольные вопросы
- •Контрольное мероприятие № 3. Защита л.1.4.
- •Часть 2 Работа с системой matlab
- •Индивидуальные задания № 3 Кривые и поверхности второго порядка.
- •Список рекомендуемой литературы
Упражнение 11. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду с помощью поворота и/или параллельного переноса системы координат.
Отметить в старой системе координат центр кривой и направление осей новой системы координат.
Построить кривую. Дать название.
В случае, если это эллипс, гипербола, сопряженная гипербола или парабола, найти ее характеристики (центр, вершины, фокусы, уравнения директрис) относительно старой системы координат. Фокусы и директрисы также отметить на рисунке.
А) Б)В)Упражнение 12 а*. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Для уравнения кривой второго порядка реализоватьm-функциюget_canonical, которая приводит уравнение данной кривой к каноническому виду, используя поворот осей координат на определенный угол. Таким образом, заголовок файла «get_canonical.m» будет выглядеть примерно так:function [u,v,phi]= get_canonical (a,b,c)
Упражнение 12 б*. Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
Нарисовать кривую, заданную уравнением .
С помощью реализованной ранее функции get_canonicalпривести уравнение данной кривой к каноническому виду, отметить фокусы, отобразить директрисы. Сравнить результат.
Поверхности второго порядка.
Параметрическое задание поверхностей второго порядка
Эллипсоид
уравнение этой поверхности можно задать параметрически:
Каждой точке на поверхности эллипсоида с координатами тавится в соответствии пара чисел-координатпо формулам:
.
сли то мы получим часть эллипсоида лежащего в первом октанте(
ли то мы получим верхнюю часть эллипсоидаЕслито мы получим весь эллипсоид.
θ – греческая буква «тетта», φ – греческая буква «фи».
Пример построения эллипсоида:
a=1;
b=4;
c=1;
theta=(-pi/2:pi/200:pi/2)';
phi=0:pi/100:2*pi;
x=a*cos(theta)*cos(phi);
y=b*cos(theta)*sin(phi);
z=c*sin(theta)*ones(size(phi));
figure ('Color','w')
mesh(x,y,z);
xlabel('x'), ylabel('y'),zlabel('z')
В этой программе мы транспонировали строку - массив «theta», так как для каждого аргумента функции «mesh» мы создадим квадратные матрицыmesh(x(i,j),y(i,j),z(i,j)), а при перемножении столбца на строку как раз и получается квадратная матрица.
a=1;
b=4;
c=1;
Упражнение 13.
Используя данную программу изобразите часть эллипсоида лежащего в первом октанте (,ерхнюю часть эллипсоидаизобразите также эллипсоид в декартовых координатах, используя«meshgrid» и «mesh» или «plot3». Сравните полученные результаты.
Однополостный гиперболоидпределяется следующей зависимостью координат точек поверхностит двух параметров.
» «»иперболические косинус и синус. Параметрегулирует высоту фигуры вдоль осиOZ. Для того чтобы при подстановке этих параметрических уравнений в уравнение однополостного гиперболоида получить тождество, нужно вспомнить аналог основного тригонометрического тождества для гиперболических функцийПример построения однополостного гиперболоида:
a=1;
b=1;
c=2;
u=(-1:0.02:2)';
phi=0:0.01*pi:2*pi;
X=a*cosh(u)*cos(phi);
Y=b*cosh(u)*sin(phi);
Z=c*sinh(u)*ones(size(phi));
figure('Color','w')
mesh(X,Y,Z);
xlabel('x'), ylabel('y'),zlabel('z')
Каноническое уравнение эллиптического параболоидаимеет видТак как переменнаяzявно выражена черезxиy, то эллиптический параболоид можно построить с помощью«meshgrid»
a=16;
b=16;
[X,Y]=meshgrid(-a:0.1:a,-b:0.1:b);
Z=(X.^2/a^2 +Y.^2/b^2 );
figure('Color','w')
mesh(X,Y,Z);
xlabel('x'), ylabel('y'),zlabel('z')