2. Параллельный перенос

Упражнение 7. Параллельный перенос осей координат

Создать код, с помощью которого производитсясдвиг (параллельный перенос) натносительно оси абсцисс и натносительно оси ординат графика функции Координаты сдвига сделать входящими параметрами.

3. Поворот и параллельный перенос

Упражнение 8. Поворот и параллельный перенос осей координат

Создать код, с помощью которого производитсяповорот на угол исдвиг (параллельный перенос) натносительно оси абсцисс и натносительно оси ординат графика функцииКоординаты сдвига и угол поворота сделать входящими параметрами.

4. Кривые второго порядка.

Прочтите в приложении «Кривые и поверхности второго порядка»

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид

причем предполагается, что среди чисел есть хотя бы одно ненулевое.

Существует система координат (называемая канонической), в которой уравнение кривой второго порядка имеет вид, приведенный в таблице

	эллипс
	гипербола
	парабола
	мнимый эллипс (эта “кривая” не имеет действительных точек)
	на действительной плоскости “кривая” имеет лишь одну точку
	две пересекающиеся прямые
	две параллельные прямые
	две совпадающие прямые
	две мнимые параллельные прямые (“кривая” не имеет ни одной действительной точки)

Частный случай эллипса это окружность.

Упражнение 9. Уравнение окружностей со смещенным центром.

1. Составить уравнение окружности с заданным центром и радиусом.

.

2. Изобразить при помощи ezplot. Добавить оси симметрии.

3. Затем. Создать 4 графические подобласти.

subplot(2,2,1), axis equal, axis([ ]), grid on, hold on

В первой построить верхнюю часть окружности с помощью функции plot, соответствующим образом выразивy.

Во второй построить нижнюю часть окружности с помощью функции plot,соответствующим образом выразивy.

В третьей построить правую часть окружности с помощью функции plot, соответствующим образом выразивx.

В четвертой построить левую часть окружности с помощью функции plot,соответствующим образом выразивx.

A) M(0,0), R=4; C) M(-7,7), R=9; E) M(3,0), R=3

B) M(5,5), R=4; D) M(3,-3), R=1; F) M(-2,0), R=2

Упражнение 10. Кривые второго порядка и их характеристики

Создать 6 графических подобластей.

figure

subplot(3,2,1), axis equal, axis([ ]), grid on, hold on

subplot(3,2,2), axis equal, axis([ ]), grid on, hold on

итд

subplot(3,2,3), subplot(3,2,4), subplot(3,2,5), subplot(3,2,6),

1. В первойпостроить эллипс,a>b, отметить фокусы, директрисы, изобразить описывающий его прямоугольник.

2. Во второй области построить эллипс, в котором b>a, отметить фокусы, директрисы,

Далее

3. Гиперболу,

4. Сопряженную гиперболу,

у гипербол построить асимптоты, отметить фокусы, директрисы

5. Параболу, отметить фокус, директрису.

6. В шестой подобласти изобразить на одном графикеэллипс,a>bи гиперболу,a>b.

Пример1:Привести уравнение кривойк каноническому виду

Решение.Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное, и дополним их до полного квадрата.

Положим разрешим равенства относительно:

Уравнение кривой примет вид - уравнение окружности радиуса 2 и центром в точкеO′(-2,0)

Пример2:Привести уравнение кривойк каноническому виду

Решение.

А) В общем случае преобразование поворота осей координат

Положим

Тогда уравнение кривой примет вид - уравнение гиперболы с полуосямии, повернутой на 45° против часовой стрелки.

Б) Можно поступить проще

Положим

Тогда уравнение кривой примет вид - уравнение гиперболы с полуосямии, повернутой на 45° против часовой стрелки с растяжением (сжатием).

Пример3:Привести уравнение кривойк каноническому виду

Решение.Соберём все слагаемые, содержащие неизвестное, и дополним их до полного квадрата

.

Положим

разрешим равенства относительно :

Тогда уравнение кривой примет вид - уравнение гиперболы с полуосями 1 и, в некоторой системе координат,не являющейся прямоугольной.

В последнем практикуме с помощью ортогонального преобразования мы сможем найти замену, приводящую уравнение к каноническому виду в декартовой системе координат.

Но, если применить прием из предыдущего примера 2 А), то новая система координат будет прямоугольной, повернутой на 45°.

План приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду:

1) в первую очередь надо избавиться от множителя xy, если он имеется, с помощью поворота на 45°.

2) затем только осуществить параллельный перенос, если требуется