2. Изображение по лапласу

Изображением по Лапласу функции-оригинала называется комплекснозначная функциякомплексного аргумента, определяемая соотношением.

Соответствие между оригиналом и изображениемсимволически записывается так:

Или обратное:

Здесь L - оператор прямого преобразования Лапласа,

L^-1- оператор обратного преобразования Лапласа.

Итак, преобразование Лапласа является оператором, который каждой функции ставит в соответствие функцию.

Заметим, что метод Хевисайда, как это стало ясно после работ Карсона, заключается в переходе от функции к функции.

Таким образом, изображение по Хевисайду отличается от изображения по Лапласу множителем .

Наличие дополнительного множителя приближает метод Хевисайда к другому символическому методу, применяемому в электротехнике (методу Карсона), однако, оно вносит неоправданные усложнения в некоторые выкладки. Кроме того, преобразование Лапласа более естественно связывается с известным преобразованием Фурье, которое широко применяется в математической физике. Исходя из этих соображений, будем рассматривать преобразование Лапласа, а не преобразование Хевисайда.

Имеет место следующая теорема о существовании изображения по Лапласу.

Теорема:

Пусть функция является оригиналом, тогда интеграл Лапласа сходится абсолютно для всех значений комплексной переменной, удовлетворяющих условию: и определяет изображение , которое является аналитической функцией в полуплоскости .

Для доказательства оценим модуль интеграла Лапласа:

, если .

Итак: , что и говорит о абсолютной сходимости интеграла Лапласа.

Чтобы доказать аналитичность найдем производную:

.

Аналогично предыдущему можно показать: полученный интеграл сходится, значит, существует, и функцияаналитична в полуплоскости(рис.2.1).

Следствие:

Так как , то, а еслианалитична в бесконечно удаленной точке, то, т.е. имеет нуль в бесконечно удаленной точке.

Замечания.

1. обычно имеет изолированные особые точкии поэтому определена не только в полуплоскости, а всюду при,(Рис.3). Однакопри.

2. Преобразование Лапласа относится к семейству интегральных преобразований типа:

, где - ядро преобразования.

Если

имеем преобразование Лапласа,

преобразование Меллина,

преобразование Ханкеля,

преобразование Фурье,

,- синус и косинус преобразования Фурье .

3. Изображения простейших элементарных функций

1. Найти изображение единичной функции Хевисайда . Найдем, пользуясь определением:

,

при .

2. Найти изображение функции .

при .

3

0

.Найти изображение функции.

В результате получим уравнение для нахождения :

, или

, откуда

.

Итак .

Аналогично можно получить следующие изображения:

, ,.

4. Найти изображение функции .

0

0

5.Найти изображение функции .

0

так как интеграл Пуассона.

В таблице 1 приведены изображения некоторых простейших оригиналов

Таблица 1