- •Введение
- •1. Понятие оригинала
- •2. Изображение по лапласу
- •3. Изображения простейших элементарных функций
- •4.Свойства преобразования лапласа
- •2С) Теорема подобия
- •3C) Теорема затухания (Теорема смещения)
- •5C) Теорема опережения.
- •10С) Интегрирование изображений.
- •11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
- •12С) Умножение оригиналов.
- •5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
- •6. Импульсные функции и их изображения
- •7.Формула обращения преобразования лапласа
- •1)Тождественные преобразования и применение таблиц 1 и 2.
- •2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
- •8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
- •8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
- •8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
- •8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
- •8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- •8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
- •9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
- •10. Применение операторных методов для анализа линейных систем
- •11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
- •1) Решетчатые функции.
- •2) Конечные разности решетчатых функций.
- •3) Суммирование решетчатых функций.
- •4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
- •5) Формула обращения.
- •1С) Теорема линейности.
- •Библиографический список
- •Оглавление
10С) Интегрирование изображений.
Если сходится, то
.
Интегрирование изображения в пределах от р до соответствует делению оригинала наt.
Доказательство:
Этот интеграл – есть изображение по Лапласу функции .
Пример. Найти изображение функции .
Решение:
, тогда
11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
Рассмотрим некоторые понятия:
сверткой двух функций f(t) и g(t) называется интеграл
.
Этот интеграл является функцией переменной t.
Свертка коммутативна f*g=g*f.
Если f и g – оригиналы, то и f*g тоже оригинал.
Операции свертки оригиналов соответствует произведение изображений.
.
Это и есть теорема умножения изображений Бореля.
Доказательство:
.
Рассмотрим это выражение как двойной интеграл по бесконечной областиD (рис.4.6).
Пределы интегрирования:
по от до ;
по t от 0 до .
Изменим порядок интегрирования
ч.т.д.
Рассмотрим специальный случай теоремы умножения. Найдем оригинал изображения pF(p)G(p)
, тогда по теореме Бореля
Эта формула носит название интеграл Дюамеля.
12С) Умножение оригиналов.
Подобно тому, как произведению изображений соответствует свертка оригиналов, так и умножению оригиналов соответствует свертка изображений в комплексной плоскости.
Выражение справа - свертка изображений.
П уть интегрирования () показан на рис.4.7.
Полученные результаты занесем в таблицу 2., которой удобно пользоваться при решении примеров и задач.
Таблица2.
|
|
1.линейность:
|
|
2.Теорема подобия
|
|
3.Теорема смещения
|
|
4.Теорема запаздывания
|
|
5.Теорема опережения
|
|
6.Предельные соотношения для изображения
|
|
7.Диффенцирование оригинала
…
|
…
|
8.Дифференцирование изображения
…
|
…
|
9.Интегрирование оригинала
…
|
…
|
10.Интегрирование изображения
|
|
11.Умножение изображений (теорема Бореля)
|
|
12.Интеграл Дюамеля
|
|
5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
1).Найти изображение для оригинала .
Решение. .
2).Найти изображение для оригинала .
Решение.
3).Найти изображение для оригинала
Решение.
4).Найти изображение для оригинала .
Решение.
Так как (теорема смещения), то
и
.
5).Найти изображение для оригинала .
Решение.
Так как , то
6).Найти изображение для оригинала .
Решение.
Учитывая, что получаем:
.
7).Найти изображение для оригинала .
Решение.
Так как , то
;
но если бы , то по теореме запаздывания:
, получили бы
.
8).Найти изображение для оригинала .
Решение.
Так как по умолчанию , то преобразуем
, тогда.
.
9).Найти изображение для оригинала .
Решение.
По теореме запаздывания будем иметь:
10) Найти изображение для оригинала .
Решение.
Применяя теоремы запаздывания и смещения, получим
11) Найти изображение для оригинала .
Решение.
Применяя теорему дифференцирования изображения:
имеем в данном случае:
потому
12)Найти изображение для оригинала .
Решение.
Применяя теорему смещения:и используя результат примера 11, получим
13)Найти изображение для оригинала .
Решение.
Применяя теорему интегрирования изображения:
, имеем в данном случае:
тогда
14)Найти изображение для оригинала .
Решение.
На основе свойства интегрирования оригинала:
имеем в данном случае:
. Для нахождения применим теорему интегрирования изображения:
в данном примере
поэтому
Тогда