4.Свойства преобразования лапласа

1с) Линейность.

Пусть функции являются оригиналами. Соответствующие им изображения обозначим. Тогда для любых комплексных чисел,функциятакже является оригиналом с изображениеми справедливо равенство:

Заметим, что для существенно, что все,- оригиналы, так как, например, функцияявляется оригиналом, а слагаемыеине являются.

Справедливо и обратное утверждение: если - изображения, то

Здесь также важно, что ,- изображения, так как, например,является изображением, а слагаемыеине являются.

Используя свойство линейности, можно значительно проще найти изображения тригонометрических и гиперболических функций, например:

а) итак

.

2С) Теорема подобия

Для любого имеет место соотношение

Доказательство: Пусть

Следствие:

3C) Теорема затухания (Теорема смещения)

Для любого имеет место соотношение

Умножение оригинала на функцию влечет смещение переменнойр на .

Следствие:

4с) Теорема запаздывания.

Для любого постоянного :

.

t

Т.о. запаздывание оригинала на время соответствует умножение изображения на(рис.4.1).

Доказательство:

Теорема запаздывания играет важную роль в связи с тем, что с ее помощью можно получать изображения функций часто встречающихся в технических приложениях - функций, которые имеют различные аналитические выражения в различных промежутках значений аргумента.

Пример. Найти изображение единичного импульса:

(рис.4.2).

Итак,

Пример. Найти изображение единичного импульса длительного, начинающегося в момент времени(рис.4.3).

Эту функцию можно представить как предыдущую, сдвинутую на , т.е. нужно найти изображение функции, если изображение функции,

Пример. Найти изображение последовательности импульсов (рис.4.4).

итак

5C) Теорема опережения.

(рис.4.5).

6c) Дифференцирование оригинала.

.

Т.о. дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p и вычитанию f(0). В частности если f(0)=0, то . Заметим, чтоf(0)=f(+0).

Доказательство:

Применим теорему повторно:

и т.д.

Если, то

т.е. при нулевых начальных условиях n-кратное дифференцирование оригинала сводится к умножению на его изображения.

Пример. Найти изображение функции .

Решение: Пусть , тогда.

,

,

,

, откуда: ,

то есть .

7с) Предельное соотношение для изображений.

Из теоремы дифференцирования вытекают два важных следствия:

α) Если является оригиналом, а- функция аналитическая в бесконечности, то

.

Действительно, ранее мы показали, что любое изображение, аналитическое в бесконечности стремится к нулю при . В частности

,

,

Откуда и вытекает свойство .

Нетрудно показать теперь: .

б) Если является оригиналом и существует предел функции f(t) при :

, то

.

Действительно:

,

,

, ч.т.д.

8с) Интегрирование оригинала.

Если и, то

.

Т.е. интегрирование оригинала в пределах от 0 до t приводит к делению изображения на р.

Доказательство:

Заметим, что ,.

Пусть .

Найдем изображение производной .

В то же время

Приравнивая правые части, получим

,

т.е.

.

Важнейшее свойство преобразования Лапласа- это то, что сложным действиям дифференцирования и интегрирования в пространстве оригиналов соответствуют простые алгебраические действия умножения и деления на р в пространстве изображений.

9с) Дифференцирование изображений.

т.о. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на (–t).

Доказательство:

,

.

Справа стоит интеграл Лапласа для функции ,т.е.

Применяя теорему n раз получим

Пример. Найти изображение степенной функции , используя 9с).

Если , то получить формулу можно последовательным дифференцированием и умножением на –t.

.

Повторяем умножение – дифференцирование.

По индукции нетрудно получить формулу

.

С помощью Г функции формулу можно распространить на любые .

.