- •Введение
- •1. Понятие оригинала
- •2. Изображение по лапласу
- •3. Изображения простейших элементарных функций
- •4.Свойства преобразования лапласа
- •2С) Теорема подобия
- •3C) Теорема затухания (Теорема смещения)
- •5C) Теорема опережения.
- •10С) Интегрирование изображений.
- •11С) Теорема умножения изображений (теорема Бореля)
- •12С) Умножение оригиналов.
- •5.Примеры нахождения изображений с помощью таблиц 1 и 2
- •6. Импульсные функции и их изображения
- •7.Формула обращения преобразования лапласа
- •1)Тождественные преобразования и применение таблиц 1 и 2.
- •2) Вычисление оригиналов с помощью вычетов.
- •8.Применение преобразования лапласа для решения уравнений и систем
- •8.1 Решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.2 Решение дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с помощью интеграла Дюамеля.
- •8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
- •8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
- •8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
- •8.6 Интегральные уравнения типа «свертки».
- •8.7 Линейные интегро-дифференциальные уравнения.
- •9.Решение диференциальных уравнений в частных производных и задач математической физики
- •10. Применение операторных методов для анализа линейных систем
- •11. Дискретное преобразование лапласа. Z – преобразование лорана
- •1) Решетчатые функции.
- •2) Конечные разности решетчатых функций.
- •3) Суммирование решетчатых функций.
- •4) Определение дискретного преобразования Лапласа.
- •5) Формула обращения.
- •1С) Теорема линейности.
- •Библиографический список
- •Оглавление
8.3 Решение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
С помощью преобразования Лапласа можно выполнить интегрирование некоторых видов линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
Пусть задано дифференциальное уравнение:
Рассмотрим случай, когда коэффициенты этого уравнения являются полиномами отt, тогда это уравнение может быть преобразовано по Лапласу, если воспользоваться теоремой дифференцирования изображения.
……………………………………………………….
Подставляя в уравнение полученные результаты, можно убедиться, что исходное дифференциальное уравнение преобразуется в дифференциальное уравнение относительно , но это уже будет обыкновенное линейное дифференциальное уравнение. Порядок этого уравнения будет такой, какова наивысшая степеньt имеющаяся в исходном уравнении.
Целесообразность преобразования по Лапласу в том, что преобразованное дифференциальное уравнение оказывается более простым, чем исходное.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
или
.
Получим линейное дифференциальное уравнение 1 порядка. Решим его методом Бернулли с помощью подстановки X=UV. При этом уравнение примет вид:
Согласно методу Бернулли будем иметь:
Тогда изображения искомого решения примет вид:
Возвращаясь к оригиналу, получим
8.4 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Пусть дана система n дифференциальных уравнений 2го порядка.
, (8.9)
где –к-тая функция, которую необходимо найти,
- коэффициенты системы,
- правые части.
Пусть заданы начальные условия
Пусть
Применяя к обеим частям каждого уравнения преобразование Лапласа, получим систему:
,
Эта алгебраическая система относительно неизвестных . Решим её и затем переходим к оригиналам.
Пример. Решить систему
При начальных условиях x(0)=1, y(0)=0, z(0)=-1.
Решение: Пусть , ,
В области изображений система примет вид:
или
Решим систему:
.
Аналогично найдутся и другие функции y(t) и z(t). Для решения системы дифференциальных уравнений операторным методом требуется решить только одну систему линейных алгебраических уравнений. При этом учитываются и начальные условия. Следует отметить возможность нахождения каждой неизвестной функции независимо от других. Проделать тоже самое классическим методом весьма затруднительно.
8.5 Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.
В ряде технических задач приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями, в которых неизвестная функция входит при различных значениях аргумента, например:
и т.п.
Такие уравнения называются дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами.
Если постоянные, то мы имеем так называемое дифференциально – разностное уравнение.
Если и старшая производная входитв дифференциально-разностное уравнение только при одном значении аргумента, не меньшем всех других аргументов функций и производных, входящих в уравнение, то уравнение называют дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом.
Пусть дано дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом с постоянными коэффициентами
,
где =const, .
Возьмем для простоты нулевые начальные условия
.
Применяя преобразования Лапласа, получим
.
Откуда найдем
от изображения переходим к оригиналу x(t).
Пример: Решить уравнение.
.
Решение:
В области изображений откуда
Переходим к оригиналу
.