8. Волны типа е в круглом волноводе

Задача о распространении по круглому металлическому волноводу колебаний электрического типа, характеризующихся условиями ,, сводится к решению уравнения Гельмгольца

при граничных условиях, обеспечивающих обращение в нуль тангенциальных составляющих электрического вектора на стенках волновода. Очевидно, что из трех возможных составляющих поля , а именно:,,касательными к стенкам волновода могут быть только составляющиеи. Поэтому необходимо потребовать

,

Из формул перехода от продольных составляющих к поперечным непосредственно следует, что два последних условия не являются независимыми. Так, составляющая . пропорциональная частной производной, обратится в нуль при постоянствена контуре волновода. Поэтому физичски достаточно, чтобы на металлических стенках волновода выполнялось граничное условие. Вместе с уравнением Гельмгольца оно образует однородную краевую задау Дирихле.

Будем решать эту задачу методом разделения переменных. Положим, что

где ,− неизвестные функции только отисоответственно, подлежащие определению.

Подставляя последнее выражение в уравнение Гельмгольца, будем иметь

Преобразуем это уравнение таким образом, чтобы в левой части располагались функции только от , а в правой—только от. Для этого левую и правую части следует разделить на произведение:

Для того чтобы это уравнение выполнялось тождественно при любых и, необходимо выполнение равенства

Решением этого уравнения служат равенства

а также их любая линейная комбинация при произвольном коэффициенте . Выбор той или иной из этих функций безразличен в силу симметрии волновода по угловой координате. Однако для того чтобы выполнялось физически очевидное требование периодичности решения по углус периодом не более,должно быть целым числом или нулем (в последнем случае приемлемо только косинусоидальное решение).

Число служит одним из индексов типа волны

Рассмотрим теперь левую часть волнового уравнения с целью получить новое уравнение, описывающее радиальное распределение поля. Из последних выкладок имеем

Целесообразно преобразовать это уравнение к несколько другому виду, введя безразмерную независимую переменную

,

откуда получим

.

Данное уравнение хорошо изучено в математической физике и носит название уравнения Бесселя. С математической точки зрения уравнение Бесселя является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами.

Цилиндрические функции. Так называют частные решения уравнения Бесселя. К ним относятся:

— функция Бесселя или цилиндрическая функция первого рода индекса;

— функция Неймана или цилиндрическая функция второго рода индекса.

Обе цилиидрические функции являются линейно независимыми, поэтому общее решение уравнения Бесселя записывается в виде

,

где и— некоторые произвольные постоянные.

Цилиндрические функции первого и второго рода в цилиндрической системе координат играют ту же роль, что синусоидальная и косинусоидальная функции в декартовой прямоугольной системе. Из примерного вида графиков этих функций, представленного на рисунке Рисунок 30 , видно, что они имеют много общего с гармоническими функциями. Однако имеются и существенные различия:

1) цилиндрические функции в отличие от синусоидальной и косинусоидальной не являются периодическими;

2) амплитуда этих функций также не постоянна, а уменьшается с ростом независимой переменной ;

3) чем больше индекс , тем сильнее смещены цилиндрические функции по оси; на рисунке это показано применительно к функциями;

4) вблизи начала координат функция неограниченно велика:

Поэтому при решений задач в круглых волноводах необходимо полагать , ибо присутствие на оси волновода при бесконечно высоких напряженностей полей физически нереально.

Для решения большинства практических задач наибольший интерес представляют простейшие цилиндрические функции и. В теории цилиндрических функций показано, что между ними существует следующее соотношение:

На рисунке Рисунок 30 представлены графики этих функций. Для дальнейшего наибольший интерес представляют те значения аргумента, при которых обращаются в нуль сами функции Бесселя, либо первые производные. Введем следующие обозначения:

—-й корень уравнения,

—-й корень уравнения.

Анализируя представленные графики, легко видеть, что функция первый раз пересекает ось абсцисс в точке, приблизительно равной 2,405. В соответствии с принятой договоренностью данная точка обозначается как. Аналогично, первый положительный максимум функцииприходится на значение аргумента 1,841, которое должно быть обозначено как.

30. −Функции Бесселя

Теперь можно вновь вернуться к исследованию воли электрического типа. В соответствии с методом разделения переменных амплитуда продольной составляющей напряженности электрического поля запишется в виде

Здесь поперечное волновое число пока еще не определено. Чтобы найти его, заметим, что граничное условие

будет выполнено в том случае, если числа принадлежат бесконечной дискретной последовательности, удовлетворяющей соотношению

,

откуда

.

Номер корня является вторым индексом волны. Итак, окончательно комплексная амплитуда составляющейдля колебания типапринимает вид:

Физический смысл индексов иочень прост:означает число вариаций поля по угловой координате, а— число вариаций по радиальной координате. В частном случаеполя по углуне изменяются, и такие типы волн называют симметричными.

Критические длины волн находятся на основании того же самого принципа, что и в случае прямоугольного волновода:

.

Формулы для вычисления длины волны в волноводе и фазовой скорости имеют ту же структуру, что и в теории прямоугольного волновода:

,

Поперечные составляющие полей для любой волны типа легко находятся из выражения для продольной составляющейи формул перехода. Покажем это на примере часто употребляемой простейшей симметричной волны типа. Здесь

Картина распределения полей в волноводе, построенная по этим формулам, показана на рисунке. Интересно отметить, что данная структура поля может быть получена непрерывной деформацией структуры типа в прямоугольном волноводе.

31. − Картина силовых линий волны типа в круглом волноводе