- •Лекции по курсу «Электродинамика и распространение радиоволн»
- •Лекция 9
- •Примеры линий передачи
- •Лекция 10
- •Распространение между двумя проводящими плоскостями
- •Падение плоской волны с параллельной поляризацией
- •Падение плоской волны с перпендикулярной поляризацией
- •Классификация направляемых волн
- •Фазовая скорость направляемых волн
- •Типы волн в волноводах
- •Критическая длина волны
- •Связь между продольными и поперечными составляющими поля
- •Лекция 11
- •Прямоугольный металлический волновод
- •Постановка задачи
- •Волны типа е в прямоугольном волноводе
- •Вычисление критической длины волны и длины волны в волноводе
- •Лекция 12
- •Волны типа н в прямоугольном волноводе
- •Волна типа
- •Лекция 13
- •Токи на стенках прямоугольного волновода
- •Излучающие и неизлучающие щели
- •Выбор размеров поперечного сечения прямоугольного волновода из условия одноволновой передачи
- •Волноводы п- и н-образной формы
- •Характеристические сопротивления волноводов
- •Круглый металлический волновод
- •Постановка задачи
- •Волны типа е в круглом волноводе
- •Волны типа н в круглом волноводе
- •Лекция 14
- •Линии передачи с волнами тем
- •Коаксиальная линия передачи
- •Волновое сопротивление
- •Полосковые линии передачи
- •Симметричная полосковая линия
- •Несимметричная полосковая линия
- •Лекция 15
- •Микрополосковая линия
- •Щелевая полосковая линия
- •Линии поверхностной волны
- •Световоды
- •Квазиоптические направляющие системы
- •Замедляющие системы
- •Объемные резонаторы
- •Объемный резонатор, образованный отрезком прямоугольного волновода
- •Общая задача о колебаниях в прямоугольном резонаторе. Классификация типов колебаний
- •Круглые объемные резонаторы
- •Некоторые способы возбуждения и включения объемных резонаторов
- •Добротность объемных резонаторов
- •Некоторые другие типы объемных резонаторов
- •Лекция 16
- •Решение неоднородных уравнений Максвелла
- •Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля
- •Калибровка потенциалов. Неоднородное уравнение Гельмгольца
- •Решение неоднородного уравнения Гельмгольца
- •Элементарный электрический излучатель
- •Векторный электрический потенциал для элементарного электрического излучателя
- •Составляющие электромагнитного поля
- •Ближняя и дальняя зоны элементарного электрического излучателя
- •Диаграмма направленности элементарного электрического излучателя
- •Вычисление излученной мощности. Сопротивление излучения
- •Понятие о магнитном токе
- •Принцип перестановочной двойственности
- •Элементарный щелевой излучатель
Калибровка потенциалов. Неоднородное уравнение Гельмгольца
Подставим соотношения найденные выражения векторов поля из потенциалов в первое уравнение Максвелла:
.
Раскрывая операцию , получаем
До сих по не накладывалось никаких ограничивающих условий на вид функций и. Потребуем теперь, чтобы оба потенциала удовлетворяли следующему соотношению:
Данная формула носит название соотношения калибровки потенциалов. Из-за произвольного выбора функций икалибровочное соотношение может быть удовлетворено в любом случае.
Заметим, что наложение условия калибровки значительно упрощает уравнение Максвелла с потенциалами, которое принимает вид
т. е. получается неоднородное уравнение Гсльмгольца относительно векторного электрического потенциала; в правой части его стоит известная функция распределения плотности стороннего электрического тока.
Отметим, что операция калибровки потенциалов позволяет выразить оба вектора электромагнитного поля через единственную функцию — электрический векторный потенциал. Действительно, воспользовавшись выражением калибровки, можно представить формулы перехода от потенциалов к векторам поля следующим образом:
,
.
Решение неоднородного уравнения Гельмгольца
В данном разделе на основе простых физических соображений будет показан способ нахождения решения неоднородного уравнения Гельмгольца.
Предположим, что сторонние электрические токи локализованы в некотором объеме (рисунок Рисунок 72 ); интенсивность возбуждаемого поля должна быть определена в точке, не принадлежащей.
−К решению неоднородного уравнения Гельмгольца
Рассмотрим элементарный объем , окружающий точку, лежащую внутри. Очевидно, что интенсивность поля в точке наблюдения, возникающего под действием токов, протекающих внутри, пропорциональна произведению. Здесь— некоторое среднее значение плотности стороннего тока, которое можно считать постоянным внутрииз-за малости последнего.
Дальнейший путь решения уравнения Гельмгольца заключается в следующем. Ввиду линейности уравнений Максвелла рассматриваемая система удовлетворяет принципу суперпозиции. В соответствии с этим принципом полное решение неоднородного уравнения Гельмгольца может быть получено как сумма всех воздействий, вызываемых в точке отдельными элементарными объемами. С физической точки зрения ясно, что по своей природе данные воздействия представляют собой сферические волны, распространяющиеся из отдельных точек объемаи уносящие электромагнитную энергию на бесконечность. Ранее было указано, что комплексная амплитуда сферической волны записывается в виде
.
Здесь, в соответствии с обозначениями, принятыми на рисунке Рисунок 72 , − текущее значение модуля радиус-вектора, соединяющего точкии.
Таким образом, с точностью до множителя пропорциональности величина элементарного воздействия
,
откуда полная величина электрического векторного потенциала в точке наблюдения может быть найдена при помощи суммирования:
.
Для того чтобы определить неизвестный коэффициент пропорциональности, необходимо совершить операцию предельного перехода, устремив к бесконечности число отдельных элементарных объемов. Как показано в курсе математической физики, строгий предельный переход
дает
Таким образом, получено интегральное представление общего решения неоднородного уравнения Гельмгольца.