4. Лекция 12

   1. Волны типа н в прямоугольном волноводе

Волны типа Н характепизуются тем, что здесь магнитное поле имеет продольную составляющую , в то время как электрическое поле поперечно, т.е..

Будем предполагать, что геометрия и физические параметры волновода остаются такими же, как при рассмотрении волн типа Е. Все составляющие электромагнитного поля могут быть выражены через составляющуюс помощью формул перехода:

По аналогии с рассмотрением волны типа Е, составляющаядолжна удовлетворять уравнению Гельмгольца, решение которого должно искаться в виде

.

Здесь амплитудная функция является решением двумерного поперечного уравнения

.

Как и ранее, − поперечное волновое число.

Волновое уравнение должно быть дополнено граничными условиями, обеспечивающими обращение в нуль тангенциальных составляющих электрического поля на идеально проводящих стенках волновода. Эти условия записываются следующим образом:

Формулы перехода позволяют записать данные условия через искомую функцию :

Таким образом, исследование распространения волн типа Нв прямоугольном металлическом волноводе сводится к решению краевой задачи, описанной предыдущими формулами. Данная краевая задача отличается от задачи, которая описывала распространение волн типаЕ, тем, что здесь на границе области, т. е. на контуре сечения волновода, обращается в нуль не сама искомая функция, а ее производная по направлению нормали. В математической физике такие краевые задачи носят название однородных краевых задач Неймана. В частности, задача, полностью подобная рассматриваемой, встречается в механике при рассмотрении колебаний упругой мембраны прямоугольной формы с незакрепленными краями. Равенство нулю нормальной производной ка краях означает отсутсвие в этих точках мембраны внутренних натяжений.

Рассматриваемая краевая задача решается методом разделения переменных. Аналогично рассмотрению волны типа Е, запишем общее решение уравнения Гельмгольца в виде

Граничные условия при ,могут быть удовлетворены тогда, когда. Далее, обозначая произведениекак, будем иметь

Из граничных условий при ,ледует, что

,.

Здесь ,− целые положительные числа, не равные нулю одновременно. Как и раньше, поперечное волновое числоопределяется соотношением

.

Каждой паре индексов ,соответствует магнитный тип волны, обозначаемый как. Критическая длина волны для этого типа колебаний находится по общей формуле для критической длины волны:

Аналогично общему рассмотрению критической длины волны, для волн Н-типов справедливы выражения

,

.

Выясним вопрос о том, какой тип волны в прямоугольном волноводе является низшим, т. е. обладает наибольшей критической длиной волны. Из анализа формулы критической длины волны следует, что наибольшей критической длиной волны будет характеризоваться тот тип колебаний, которому соответствуют наименьшие индексы. Поскольку для волн Н-типов

,

в данном случае один из индексов, но не оба вместе, может равняться нулю, так как при ивсе составляющие напряженностей поля равны нулю. В то же время известно, что для волнЕ-типа такая ситуация невозможна. Это значит, что низший тип колебаний в прямоугольном волноводе принадлежит к классу волнН-типа.

Наименьшими значениями и, при которых напряженностьиотличаются от нуля, будут,и,, то есть волны типаисоответственно. Критические длины волн для этих типов волн в соответствии с общим выражением будут:

,.

При обсуждении постановки задачи условились считать, что размер сечения волновода по координате больше, чем по координате, т. е.. Отсюда следует, что, то есть из двух колебаний с наименьшими из возможных индексов, наибольшей критической длиной волны будет обладать тип колебаний.