НИРС Андреев / МНИ

руется до тех пор, пока скорость ее изменения не станет равной нулю. При этом выходная величина может принять то же значение, что до нанесения возмущения (устойчивый объект) или другое значение (нейтральный объект). Если объект имеет несколько входных величин, то во время снятия временных характеристик по определенному каналу необходимо следить за постоянством остальных величин, поскольку их изменение может привести к дополнительному нежелательному изменению интересующей нас выходной технологической величины.

По экспериментально полученной переходной характеристике объекта можно определить свойства, которыми он обладает, а также оценить эти свойства.

Аппроксимация переходных характеристик объектов. Определение по кривой разгона свойств нейтрального и устойчивого объектов 1-го поряд-

ка с запаздыванием при ступенчатом возмущении хв показано на рис. 8.12, а,

б, в.

а

а

б

в

г

д

Рис. 8.12. Ступенчатое возмущение (а) и кривые разгона для одноемкостных (б, г) и двухъемкостных (в, д) объектов регулирования:

б, в – нейтральных; г, д – устойчивых.

В первом приближении объекты 2-го порядка можно аппроксимировать двумя последовательно соединенными звеньями. Нейтральные объекты 2-го порядка аппроксимируют звеном запаздывания и нейтральным звеном 1- го порядка, а устойчивые объекты 2-го порядка – звеном запаздывания и апериодическим звеном 1-го порядка.

При аппроксимации нейтрального объекта 2-го порядка с запаздыванием (рис. 8.12, г) через ту часть его кривой разгона, где выходная величина изменяется с постоянной скоростью, проводят наклонную прямую до пересе-

101

чения с осью абсцисс и принимают, что выходная величина объекта изменяется сначала по горизонтальной, а затем по вновь проведенной наклонной

прямой. Время запаздывания τ и время разгона Тe такого объекта определяют по графику.

При аппроксимации устойчивого объекта второго порядка с запаздыванием (рис. 8.12, д) через точку перегиба Е его кривой разгона проводят касательную до пересечения с осью абсцисс в точке В и принимают, что выходная величина объекта изменяется по ломаной кривой ОВЕ и далее по кривой разгона. Время запаздывания t и постоянную времени объекта Т0 находят по графику: t = ОВ; T0 = BD.

Именно такую аппроксимацию объектов обычно применяют для определения их свойств в численном выражении с целью последующего нахождения оптимальных значений настроечных параметров регуляторов.

Известны также методы более точной аппроксимации объектов 2-го порядка. Например, устойчивые объекты 2-го порядка с запаздыванием или без него, кривые разгона которых имеют S -образную форму (рис. 8.13), можно аппроксимировать следующим образом. Непосредственно по графику

кривой разгона находят значения коэффициента усиления объекта k = kхв/хв и времени действительного запаздывания τd, если оно есть, по отрезку oa(τd =

Toa). Для определения же постоянных T12 и Т1 к точке перегиба Е кривой разгона проводят касательную до пересечения с осью абсцисс и горизонталью, ордината которой равна kxв. На этих горизонтальных прямых откладывают подкасательные Tbd и Tcd определяют их величины. Отрезок cd численно равен постоянной Т2(Т2 = Tcd). Постоянную же T12 находят по отношению

Tbd/T2, используя зависимость, приведенную на рис. 8.14. Отметим, что S - образные кривые разгона описываются уравнением устойчивого объекта 2-го порядка только при соблюдении условия Tbd/T2 ≤ 1,4

Рис. 8.13. Нахождение постоянных времени объекта

102

по S-образной кривой разгона

Рис. 8.14. Зависимость постоянной T12/T2 от Tbd/T2

При нарушении этого соотношения экспериментально полученные S- образные характеристики могут быть описаны уравнениями более высокого порядка. В качестве примера на рис. 8.15 приведены переходные характеристики устойчивых объектов 1 – 4 - го порядков. При определении численных значений свойств объектов 3-го и более высоких порядков по переходным характеристикам последние аппроксимируют цепочкой последовательно соединенных одного или нескольких апериодических звеньев 1-го порядка, имеющих одинаковые постоянные времени Т, и звеном запаздывания, услов-

ное время которого равно τу. Передаточная функция такого соединения

	W ( p) =	k	e- pt y ,	(8.25)
		(Tp +1)n

где n = 1, 2, 3 – число апериодических звеньев.

Рис. 8.15. Переходные характеристики объектов п-го порядка

Сначала экспериментально полученную S-образную кривую разгона обрабатывают так, как это показано на рис. 8.13, находят величины Тab и Тbd

и по ним определяют отношение Тab/Тbd. Затем, используя данные таблицы 8.8, устанавливают порядок объекта n.

При проведении касательной к точке перегиба кривой разгона учитывают, что координаты точки Е (рис. 8.13) и отношение отрезков Тab/Тbd свя-

103

заны между собой зависимостями, приведенными на рис. 8.16. Это облегчает нахождение точки перегиба и позволяет скорректировать ее местоположение.

Рис. 8.16. Зависимость координаты точки перегиба S-образной переходной характеристики от отношения Тab/Тbd

Если отношение Тab/Тbd с заданной точностью равно табличному значению, то объект соответствует определенному порядку. Если же оно отличается от имеющегося в таблице, то порядок объекта устанавливают по бли-

жайшему меньшему табличному значению Тab/Тbd и принимают, что переда-

точная функция описывается равенством (8.25). При Тab/Тbd <0,104 порядок объекта равен единице (n = 1) и величины Т и τу находят по переходной характеристике:

T = Тbd; τу = Тab.

Если порядок объекта выше единицы, то сначала определяют постоян-

ные времени входящих в него апериодических звеньев
T = Tbd / k1 ,	(8.26)
а затем вычисляют значение времени запаздывания Т1
t1 = k2T .	(8.27)

Числовые значения постоянных k1 и k2 при известном порядке объекта приведены в табл. 8.8

Таблица 8.8. Данные для определения порядка объекта и параметров его передаточной

функции

Тab/Тbd	n	k1	k2
0	1	1	0
0,104	2	2,718	0,282
0,218	3	3,695	0,805
0,319	4	4,463	1,425
0,410	5	5,119	2,100

104

Условное время запаздывания объекта τу находят по равенству
t y = Tab - t1.	(8.28)

Если на экспериментальной кривой разгона имеется участок запаздывания ОА, то это экспериментально найденное время запаздывания τd = Тоа необходимо прибавить к величине Tab (объект 1-го порядка) или разности Tab – τ1 (объект 2-го или более высокого порядка). Таким образом, для объектов 1-го порядка общее время запаздывания t объекта можно определить по равенству

t = td + t y ;	(8.29)
для объектов 2-го порядка – по равенству
t = tв + t y - t1 .	(8.30)

Коэффициент усиления объекта k находят по формуле:

k =	y	=	y	т	- y	т0	×	xр0	.	(8.31)
	x				yт0			xр - xр0

Пример 8.1. Найти передаточную функцию теплообменника, в котором жидкость нагревается водяным паром, по экспериментально снятой кри-

вой разгона Тж = f(t), полученной при ступенчатом изменении расхода греющего пара относительно номинального значения DFп / Fn0 на 7%. Заданное

значение температуры жидкости на выходе Тж0 равно 91 °С. Результаты эксперимента сведены в табл. 8.9.

Таблица 8.9. Экспериментальные и расчетные данные кривой разгона теплообменника

		Температура жидкости			Температура жидкости
	Время t,	Тж, °С		Время t,	Тж, °С
	с			с
		экспери-	расчетная		экспери-	расчетная
		ментальная			ментальная
	0	91,00	91,00	30	93,25	93,19
	5	91,00	91,00	40	93,75	93,86
	10	91,25	91,16	50	94,20	94,25
	15	91,75	91,63	75	94,50	94,62
	20	92,25	92,19	100	94,75	94,68
	25	92,75	92,68

По приведенным в табл. 8.9 данным строим кривую разгона (рис. 8.17).

105

Рис. 8.17. Кривая разгона теплообменника, полученная экспериментально (сплошная линия) и расчетным путем

после аппроксимации объекта (пунктир).

Из рисунка следует, что за конечное значение температуры Тж можно принять температуру 94,7 °С, а полученное экспериментально время запаз-

дывания равно Тоа = 5 с. Проведя касательную к точке перегиба кривой раз-

гона, получаем Таb = 4,5 с, Тbd = 32,5 с, отношение Тab/Тbd =0,1385. Сравнивая это значение с данными табл. 8.9, присваиваем объекту 2-й порядок.

Для объекта 2-го порядка вычисляем значение Т

T =

Tbd

=

32,5

=11,96 »12 с .

k1

2,718

Находим значение времени запаздывания t1

t1 = 0,282Т = 0,282·12 = 3,37 ≈ 3,4 с.

Определяем окончательное значение времени запаздывания т

t = T0 + t у - t1 = 5 + 4,5 - 3,4 = 6.1 с .

В заключение вычисляем коэффициент усиления объекта k

k =

y

=

DТж ×

Fп0

=

94.7 - 91

×

100

» 0.58.

x

Т

ж0

DF

91

7

п

Находим искомую передаточную функцию теплообменника

W ( p) =

k

e- pt

=

0.58

e-6.1p .

(8.32)

(Tp +1)n

(12 p +

1)2

Покажем соответствие найденной передаточной функции теплообмен-

ника его переходной характеристике h(t), а затем и кривой разгона Tж(t) при указанном в условии возмущении. Для этого, умножая передаточную функцию (8.32) на изображение возмущения 1(t), получим изображение выходной

106

величины теплообменника, по которому с помощью таблицы обратного преобразования Лапласа, найдем соответствующий объекту оригинал

ì0
ï	é				t -t
ï
h(t) = í	ê		t - t
		- (1 +		)e -	T
ïk 1
ï	ê		T
î	ë

		при 0 < t < t
	ù		.
	ú	при t ³ t
	ú
	û

После подстановки числовых значений выражение принимает вид

ì0							при 0 < t < 6,1
ï	é			t -6,1		ù
ï
h(t) = í		t - 6,1						.
0,58ê1 - (1 +			)e - 12			ú	при t ³ 6,1
ï	ê	12				ú
ï
î	ë					û

Кривую разгона теплообменника найдем из зависимости

DТж = h(t) DFп .

Тж0 Fп0

Откуда получим

Т	ж	= Т	é1+ h(t)	DFп	ù	= 91[1+ 0,07h(t)] .
			ж0 ê	ú
			ë	Fпo û

На рисунке 8.17 эта расчетная зависимость показана пунктиром. Удовлетворительное совпадение экспериментальной и расчетных кривых свидетельствует о возможности представления теплообменника в виде двух апериодических звеньев 1-го порядка и звена запаздывания, соединенных последовательно.

Контрольные вопросы

1.Поясните основные понятия и виды планов активного эксперимента.

2.Охарактеризуйте основные положения рационального планирования.

3.Дайте характеристику планированию первого порядка.

4.Охарактеризуйте планирование второго порядка.

5.Поясните планирование экстремальных экспериментов.

6.Как определяются динамические характеристики при активном эксперименте?

107

9. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

При пассивных методах экспериментальных исследованиях используются статистические приемы обработки экспериментальных данных, полученных в процессе нормальной эксплуатации исследуемого объекта. Обработка экспериментальных данных сводится к определению статистических характеристик случайных сигналов входа и выхода и к вычислению по ним характеристик исследуемого объекта.

Статистические характеристики случайных процессов обычно определяются не из теоретических соображений, а путем обработки данных, полученных в результате экспериментально-статистического исследования, проводимого на объекте. Применительно к технологическим процессам экспе- риментально-статистическое исследование во многих случаях является наиболее разумным, а иногда и единственно возможным способом их изучения. В отличие от теоретических исследований, в любом эксперименте присутствует элемент случайности, который исключает возможность получать точное значение интересующих величин. Поэтому в результате обработки экспериментальных данных определяют только приближенные значения искомых статистических характеристик. Эти приближенные значения называют в математической статистике оценками.

Пусть α – истинное значение некоторой статистической характеристики, а* – ее оценка. Тогда ошибка в определении истинной характеристики есть разность δ = а – а*, являющаяся случайной величиной. Существуют разные способы получения оценок. Они приводят к различным значениям оценок а*, а следовательно, и ошибки δ. Для того чтобы сравнивать способы получения оценок, вводятся определенные меры качества оценок. Такими ме-

рами являются: несмещенность, эффективность и состоятельность оцен-

ки.

Говорят, что оценка является несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемой величине:

М{а*} = а

Эффективность несмещенных оценок определяется их дисперсией. Эффективной называют оценку, которая среди всех несмещенных обладает наименьшей дисперсией.

Оценка называется состоятельной, если при увеличении статистического материала вероятность сколь угодно малых отклонений от оцениваемой величины стремится к нулю.

Однако полной мерой точности определения искомых статистических характеристик является вероятность того, что абсолютная величина ошибки не превосходит заданного значения ε:

P{|α*-a| < ε}=q

(9.1)

108

Число q называется доверительной вероятностью, а интервал (а–ε, а+ε)

– доверительным интервалом.

Очевидно, что для вычисления доверительной вероятности при заданном доверительном интервале необходимо знать закон распределения ошибки δ. Обычно он неизвестен. Чтобы, обойти это затруднение, принимают некоторую гипотезу о законе распределения и, пользуясь этой гипотезой, оценивают доверительную вероятность.

Нахождение оценок по результатам экспериментального статистического исследования объектов может быть связано с определением характеристик случайных процессов по данным эксперимента и характеристик объекта.

Несмотря на общность методов, которые могут быть использованы при решении этих задач, каждую из них удобно рассматривать самостоятельно.

9.1. Определение характеристик случайных процессов по данным эксперимента

В рамках задач, решаемых методами статистической динамики линейных систем управления, восстановление характеристик случайных процессов по данным эксперимента сводится к оценке корреляционных функций, спектральных плотностей, дисперсий, математических ожиданий. Для того чтобы эти оценки отвечали определенным требованиям несмещенности, эффективности и состоятельности, необходимо правильно провести эксперимент, получить достаточный объем статистических данных и правильно выбрать методы их обработки. Проведение эксперимента, объем экспериментальных данных и методы обработки в свою очередь зависят от характеристик случайных процессов. Так как характеристики априори не известны, то при планировании эксперимента необходимо выдвигать определенные гипотезы, которые после проведения экспериментов не должны опровергаться полученными данными. При восстановлении характеристик случайных процессов объектов обычно достаточно предполагать, что они являются эргодическими, дифференцируемыми, а нестационарные процессы можно рассматривать как нестационарные относительно математических ожиданий. Кроме того, будем предполагать, что случайные процессы подчиняются нормальному закону распределения. Опыт исследования многих объектов показывает, что эти предположения, как правило, справедливы. Поэтому остановимся на некоторых методах вычисления оценок основных характеристик случайного процесса, которые в дамках сделанных предположений обеспечивают их несмещенность, эффективность и состоятельность.

Оценку математического ожидания случайного процесса в предположении его стационарности можно определить по записи какой-либо реализации на интервале времени Т

109

	m*x =	1	T x(t )dt .	(9.2)
		T
			ò
			0

Обычно при вычислениях, особенно с применением ЭВМ, интеграл заменяют суммой. При этом интервал записи разбивают на п равных участков DТ = Т/п, и формула приобретает вид среднего арифметического

m* =	1	n (t ).	(9.3)
x		å i
	n i=1

Случайный процесс, математическое ожидание которого постоянное значение, называется стационарным. Если в исходной реализации присутствуют низкочастотные составляющие, не усредняющиеся на реализации конечной длительности, то при определении характеристик случайного процесса применяется операция центрирования. Ее можно рассматривать как фильтрацию высокочастотных составляющих. Одним из простейших способов фильтрации является центрирование относительно текущего среднего, вычисляемого по формуле

	m *x =	1	DT / 2
			ò (t + t)dt .	(9.4)
		DT
			- DT / 2

Если характеристики случайного процесса, определенные на отрезке времени DТ, не зависят от положения отрезка во времени (места выборки), то такой процесс называется эргодическим. Оценки корреляционной функции эр-

годического стационарного случайного процесса определяют из соотношения

	Rx*(q)=	1	T -òq[x(t )- m*x ][x(t - q)- m*x ]dt .	(9.5)
		T - q
			0

Если процесс центрированный, то

	R x* (q)=	1	T - q o	o
			ò x(x )x(t + q)dt .		(9.6)
		T - q
			0

При вычислении по дискретной выборке интегралы заменяются суммами, а координата t = (l -1)D + D / 2 , где l – номер участка разбивки интер-

вала. Оценки корреляционной функции

110