НИРС Андреев / МНИ

сумму тепловых эффектов отдельных стадий:

Qp = åq jv pj ,

(1-21)

где qj- – удельный тепловой эффект j-й стадии; vpj – скорость превращения на j-й стадии.

Многостадийные гетерогенные химические реакции изучаются диффузионной и адсорбционной кинетикой. В диффузионной кинетике исследуется влияние скорости диффузии реагентов на скорость реакции. В зависимости от соотношения скоростей реакции и диффузии различают три области протекания реакции: диффузионную, кинетическую и промежуточную. В диффузионной области лимитирующей является скорость диффузии реагентов. В кинетической области скорость химического превращения определяется скоростью реакции. В промежуточной области скорости диффузии и реакции соизмеримы. Математические описания рассмотренных процессов – уравнения кинетики и диффузии.

Адсорбционная кинетика изучает процессы химического превращения с учетом явлений адсорбции, десорбции, хемосорбции. Скорость химической реакции зависит от концентрации реагентов в зоне реакции, следовательно, результирующая скорость процесса будет определяться процессом адсорбции. Математическое описание рассматриваемых процессов – уравнения кинетики, адсорбции и десорбции.

Диффузионные адсорбционные процессы имеют место при каталитических реакциях, происходящих на твердом катализаторе.

Контрольные вопросы

1.Поясните аналитические методы определения математических моделей.

2.В чем сущность экспериментальных методов исследования?

3.Дайте характеристику экспериментально-аналитическим методам.

4.Что представляет собой математическая модель исследуемого объекта?

5.Какие типовые гидродинамические модели технологических аппаратов вы знаете?

6.Напишите уравнения, описывающие тепловые процессы.

7.Что является движущей силой процесса массопередачи?

11

2. АНАЛИТИЧЕСКОЕ СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОПИСАНИЙ

Эти методы, как очевидно из их названия, базируются на анализе процессов, происходящих в молекулярном объекте, и их количественной оценке. Подобное возможно только для хорошо изученных технологических процессов и аппаратов. Решение сложной задачи – составления математического описания – зависит от особенностей моделируемого объекта, режима, конструкции, входных и выходных величин, параметров материальных и энергетических потоков. Несмотря на многообразие решений задач по составлению математических описаний можно отметить определенную последовательность их выполнения.

1.Определение целесообразности использования аналитического метода. Составление математического описания аналитическим методом – это сложная и трудоемкая работа, требующая квалифицированных исполнителей. Поэтому необходимо определить эффективность и целесообразность использования аналитической модели на подобных процессах и аппаратах.

2.Изучение моделируемого объекта. Этот этап включает в себя ознакомление с конструкцией объекта и происходящими в нем физикохимическими процессами. Одновременно определяются некоторые конст- руктивно-режимные параметры и константы: поверхность теплообмена, номинальные и допустимые значения температур и концентраций и т.п. На основании анализа простейших процессов выделяются основные, существенно влияющие на работу и режим моделируемого объекта.

3.Составление структурной схемы. Моделируемый объект представляется совокупностью звеньев, соединенных в определенном порядке. Звенья являются моделями конструктивно обособленных и повторяющихся элементов аппарата, а также основных простейших физико-химических процессов. Направление и характер связей отражает взаимосвязь процессов и элементов конструкции в моделируемом объекте. Например, реакционный объем реактора с перемешиванием можно рассматривать как два звена, моделирующие простейшие химические и теплообменные процессы. На этом этапе принимаются решения о характере простейших процессов в звеньях, их математических моделях и о возможных допущениях.

4.Составление математических описаний звеньев. В основе описаний звеньев лежат законы протекания простейших физико-химических процессов. Форма записи определяется как непосредственно математической моделью, так и характером звена: алгебраические уравнения статики, дифференциальные временные уравнения динамики для звеньев с сосредоточенными параметрами и в частных производных для звеньев с распределенными параметрами. (Например, звено, моделирующее химические процессы в реакторе полного смешения, описывается алгебраическим уравнением в статике и дифференциальным в динамике, а для реактора полного вытеснения аналогичное звено описывается уравнением в частных производных.) На этом же

12

этапе осуществляют преобразование математических описаний звеньев и устанавливают граничные условия.

5.Определение коэффициентов математических описаний звеньев. Коэффициенты уравнений являются функциями конструктивно-режимных параметров аппарата и протекающих в нем физико-химических процессов. Некоторые из них можно найти в справочной литературе, часть других – определяют экспериментально – на действующих процессах или специальными лабораторными опытами. Точность разрабатываемого аналитического описания и его адекватность в основном характеризуются погрешностью определения коэффициентов уравнений.

6.Составление математического описания моделируемого объекта. На первых этапах были получены уравнения отдельных звеньев, связей между ними, граничные и начальные условия, ограничение на изменение входных и выходных переменных. Некоторые из переменных в этих уравнениях являются промежуточными, они появились в результате разбиения моделируемого процесса на звенья. На данном этапе полученные математические зависимости преобразуются в удобные для дальнейшего использования формы: системы уравнений, передаточные функции, одно уравнение. Как правило, промежуточные переменные исключаются, и уравнения связывают входные

ивыходные величины моделируемого процесса.

7.Оценка точности математического описания. Адекватность и точность проверяют, сравнивая расчетные и экспериментальные значения переменных. При оценке точности математического описания статики определяют расхождение между экспериментальными и расчетными значениями для установившихся значений переменных, а при оценке точности математического описания динамики – между ординатами кривых расчетных и экспериментальных переходных функций. Расхождение экспериментальных и расчетных данных для математических моделей статики оценивается по величине показателей вида:

		1		n		k
	tс =			å å (xifp - xifэ )2 pif ; i =1, 2, 3, ..., n ;				(1-22)
		nk i =1			f =1
	для математических моделей динамики:
	t p n			k			m
						x p (t)if - x э (t)if
	tд = ò å å						pif dt ,	(1-23)
		0 i=1 f =1
	где xifp , x p (t)if , xifэ , x э (t)if			– величины переменных или ординат переходных

функций, полученные расчетным и экспериментальным путем; pif – весовые коэффициенты; значение т – принимается равным единице или двум.

Величины tc и tд оценивают только близость расчетных и экспери-

13

ментальных данных. Критические значения tc и tд , выше которых необхо-

димо считать математическое описание не адекватным реальному процессу, определить трудно ввиду неоднозначности требований к точности математических описаний.

Полученные математические описания могут быть использованы для оптимизации статических режимов в процессе проектирования, а также для расчета автоматических систем регулирования (АСР) и автоматизированных систем управления (АСУ). Особую ценность представляют математические описания типовых технологических процессов, составленные в общем виде, так как они могут быть использованы для моделирования ряда аналогичных производственных процессов.

Рассмотрим в качестве примера вывод математического описания смесителя.

Пример П1. Составить математическое описание смесителя постоянного объема V, обеспечивающего идеальное перемешивание жидкости (рис. 1.3). В смеситель подаются жидкости, расходы и концентрации которых соответственно равны F1, Q1 и Q2, Р2. Выходной величиной смесителя является состав жидкости Q в смесителе и на выходе из него, а входными переменными – величины потоков на входе F1 и F2, а также концентрация Q1. Причем Q1>Q>Q2 .

а

б

Рис. 2.1. Схемы смесителя двух жидкостей (а) и его динамических каналов (б)

Для нахождения уравнения динамики смесителя составим полный материальный баланс, а также материальный баланс с учетом концентрации вещества в каждом потоке за промежуток времени dt

F1+F2 = F;	(1.24)
F1Q1dt + F2Qdt = VdQ + FQdi;	(1.25)

где F – расход жидкости на выходе из смесителя.

14

Преобразуем уравнение (1.25) с учетом формулы (1.24)

V	dQ	+ (F + F )Q = F Q + F Q .						(1.26)
	dt	1	2	1	1	2	2

Данное уравнение нелинейно, так как три его слагаемых представляют собой произведения переменных величин. Линеаризуем его, заменив каждою переменную на сумму базисного значения и приращения. Получим:

V	dDQ	+ F Q + F DQ + Q DF + F Q + F DQ + Q DF =
	dt	10	10	10	0	1	20	0	20	0	2	(1.27)
= F10Q10 + F10DQ1 + Q10DF1 + F20Q2 +Q2DF2.
Уравнение смесителя при равновесном состоянии имеет вид
			F10Q0 + F20Q0 = F10Q10 + F20Q2 .									(1.28)

Вычтем почленно уравнение (1.28) из уравнения (1.27), одновременно учитывая, что F10 + F20 = F0, и найдем уравнение смесителя в приращениях

V	dDQ	+ F DQ = F		DQ + (Q		- Q )DF - (Q		0	- Q	2	)DF	2	.	(1.29)
	dt	0	10	1	10	0	1

Из этого уравнения следует, что концентрация вещества Q в смесителе возрастает с увеличением Q1и F1, так как Q10 > Q0, и понижается с увеличением F2, так как Q0 > Q2 по условию.

Подставляя в уравнение (1.29) относительные величины

y = DQ ; z =	DQ1	; x =	DF1	; x	2	=	DF2	;
Q0	Q10	1	F10				F20

получим:

VQ0 dydt + F0Q0 y = F10Q10 z + (Q10 - Q0 )F10 x1 - (Q0 - Q2 )F20 x2 . (1.30)

Разделив все слагаемые уравнения (1.30) на сомножитель F0Q0, окончательно найдем

15

T	dy	+ y = k z + k	x	- k	3	x	2	,	(1.31)
0 dt		1	2 1

где Т0 = V/F0 – постоянная времени объекта; k1 – k3 – коэффициенты усиления по каналам Q1–Q, F1–Q, F2–Q:

K1 =	F10Q10	; K 2	=	F10 (Q10 - Q0 )	; K3	=	F20 (Q0 - Q2 )	.
	F0Q0			F0Q 0			F0Q 0

Таким образом, по всем трем каналам прохождения сигналов рассматриваемый смеситель представляет собой устойчивый объект 1-го порядка; его устойчивость объясняется наличием внутренней обратной связи.

Уравнение динамики смесителя в операторной форме:

		(T0 p +1) y = k1z + k2 x1 - k3 x2 .								(1.32)
	Передаточная функция объекта по его каналам описывается
	равенствами
	W1( p) =	k1		; W2 ( p) =	k2		; W3 ( p) = -	k3		.
		T0 p +1			T0 p +1			T0 p +1

Контрольные вопросы

1.Назовите этапы составления математического описания технологических процессов.

2.Поясните последовательность составления математического описания смесителя постоянного объема.

16

3. МЕТОД АНАЛОГИЙ

3.1. Понятие о методе и виды аналогий, используемых в научных исследованиях.

Явления разной физической природы могут иметь одинаковое математическое описание (в виде дифференциальных уравнений и условий однозначности). Такие физические явления принято называть аналогичными. В методе аналогий исследование явлений одной природы заменяется изучением аналогичных явлений другой природы, экспериментальное исследование которых оказывается более доступным.

Одинаковость математического описания аналогичных явлений имеет глубокие физические корни. Общность законов сохранения энергии, количества движения, массы и т.д., вытекающая из закона сохранения материи, и общность законов переноса энергии, количества движения и т.д. в физических полях приводит к тому, что распределения температуры, потенциала скорости, электрического потенциала, магнитной напряженности и т.д. в однородных потенциальных полях описываются одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями.

Все процессы, описывающиеся одинаковыми дифференциальными уравнениями, являются аналогичными; физические величины, входящие в эти уравнения, являются величинами-аналогами, а исследование любого из этих процессов может быть заменено изучением другого аналогичного процесса. Например, температурное поле в теле может быть определено посредством измерений, выполненных на электрической, гидродинамической и т.п. моделях (моделирующих устройствах).

Для установления количественной связи между величинами-аналогами дифференциальные уравнения и условия однозначности приводят к безразмерному виду, при этом выявляются масштабные коэффициенты (масштабы моделирования), позволяющие делать пересчет параметров одного физического поля в соответствующие параметры другого поля. Отметим, что в отличие от чисел и констант подобия масштабные коэффициенты являются размерными величинами.

В настоящее время наиболее широкое распространение получили методы электрического моделирования. В них исследование тепловых, гидродинамических, гидравлических, магнитных, электромагнитных, акустических и других неэлектрических полей заменяется изучением полей электрических. Преимущества электрического моделирования состоят в том, что электрические измерения осуществляются сравнительно просто и быстро и обладают высокой точностью и надежностью, а сами электрические модели отличаются универсальностью, стабильностью свойств, компактностью и простотой эксплуатации.

При создании электрических моделей применяют два способа. В первом из них электрическая модель в определенном масштабе воспроизводит

17

геометрию исследуемой системы и изготавливается из материала с непрерывной проводимостью (электропроводная бумага, фольга, электролит и т.д.)

– это модели с непрерывными параметрами процесса. Во втором способе исследуемые системы заменяют моделирующими электрическими цепями (сетками омических сопротивлений - R-сетки, и сетками омических сопротивлений и емкостей RC-сетки – это модели с сосредоточенными параметрами. Принцип действия сеточных моделей основан на воспроизведении с помощью электрических схем конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый процесс.

Применяются также комбинированные модели, чаще всего сочетания сплошных моделей с R-сетками.

Электрические модели с непрерывными свойствами применяют для исследования одномерных и двумерных (плоских и осесимметричных) стационарных полей, а сеточные модели позволяют решать и более сложные, пространственные задачи по определению как стационарных, так и нестационарных полей.

Методы электромоделирования позволяют решать прямые и обратные задачи как в линейной, так и в нелинейной постановке. В прямых задачах на основе решения заданного математического описания (дифференциального уравнения и условий однозначности) определяется поле потенциала (температуры, скорости и т.д.), в обратных – по известному полю потенциала определяются граничные условия, например коэффициент теплоотдачи на поверхности тела.

Описанные выше электрические модели представляют собой модели прямой аналогии. В отличие от них аналоговые вычислительные машины (АВМ) состоят из отдельных функциональных блоков, моделирующих алгебраические, дифференциальные и интегральные операторы уравнений, описывающих процесс.

По сравнению с численными методами, основанными на использовании цифровых электронно-вычислительных машин, и аналоговыми методами, основанными на использовании АВМ, методы прямой аналогии являются наименее точными и наименее универсальными. Однако если скорость решения не играет существенной роли, а погрешность решения в 2–5 % оказывается допустимой, то этот метод является весьма эффективным для решения многих задач теории поля, поскольку здесь решение относительно сложных дифференциальных уравнений сводится к сравнительно несложному физическому эксперименту.

3.2. Электротепловая аналогия (модели с непрерывными параметрами)

Электротепловая аналогия (ЭТА) – аналогия между процессами теплопроводности и электропроводности.

Стационарные двумерные поля температуры и электрического потенциала в однородной среде с постоянным коэффициентом теплопроводности

18

(λ = const) и в токопроводящей среде с постоянной электрической проводимостью (σ = const) описываются дифференциальным уравнением Лапласа

	¶2T	+	¶2T	= 0;	(3.1)
	¶x2		¶y 2
	T		T
	¶2u	+	¶2u	= 0.	(3.2)
	¶x 2		¶y 2

Здесь Т и u– соответственно температура и электрический потенциал, индекс «Т» относится к координатам в тепловой системе.

Математические формулировки задач теплопроводности и электропроводности наряду с дифференциальными уравнениями (3.1) и (3.2) включают условия однозначности – геометрические, физические и граничные.

Геометрическими условиями задаются форма и размеры тела и электрической модели:

lТ1 ,lТ 2 ,lТ3 ,...	(3.3)
l1 , l 2 , l 3 ....	(3.4)
Физическими условиями задаются значения коэффициентов теплопро-
водности и электропроводности:
λ = const;	(3.5)
σ = const.	(3.6)

Граничные условия могут быть заданы четырьмя способами. При граничных условиях I рода задается распределение температуры и электрического потенциала на поверхности тела и на границе электрической модели:

Tw = Tw (xT , yT );	(3.7)
uw = uw(x, y).	(3.8)

При граничных условиях II рода задается распределение плотности теплового потока на поверхности тела и распределение плотности электрического тока на границах модели:

		æ	¶T	ö				(x y	). ;
q	w	= -lç			÷	= q	w
			¶n
		ç		÷				T ,	T
		è	T øw
				æ ¶u ö			=iw(x, y).
		iw = -sç ÷
				è ¶n øw

(3.9)

(3.10)

где n T и n – нормали к поверхности тела и к границе электрической модели. При граничных условиях III рода в тепловой системе задаются темпе-

ратура среды, омывающей тело, Tf и коэффициент теплоотдачи на поверхности тела a, а в электрической модели – электрический потенциал uf, соответствующий температуре Tf, и добавочное сопротивление Ra, имитирующее

термическое сопротивление теплоотдачи R a T = 1 / a . Математическая запись граничных условий третьего рода имеет вид

19

	æ	¶T		ö			(T				);
	- lç			÷	= a			f	- T
		¶n
	ç			÷						w
	è	T		øw			- uw
	æ	¶u ö				u f
	- sç	÷			=					.
						Ra S
	è	¶n øw

(3.11)

(3.12)

Здесь S - площадь граничной поверхности электрической модели.

При граничных условиях IV рода задается равенство температур и тепловых потоков и соответствующих электрических потенциалов и плотностей электрического тока на границах контактирующих тел.

Реализация метода электротеплового моделирования на моделях с непрерывными свойствами осуществляется следующим образом. Электрическая модель, геометрически подобная тепловой системе, изготавливается из электропроводной среды. В настоящее время наиболее широкое распространение получили модели из электропроводной бумаги. Масштаб геометрического моделирования Cl = x / xT = y / yT = l0 / l0T выбирается произвольно

исходя из удобства монтажа модели и проведения на ней измерений. Постоянство коэффициента теплопроводности l обеспечивается одно-

родностью электропроводящих свойств бумаги. Электропроводная бумага, используемая при электромоделировании, обычно обладает некоторой неоднородностью по удельной проводимости s. Для повышения точности решения применяют многослойные модели; модель, изготовленную из трехчетырех слоев, можно считать практически однородной.

При решении задач теплопроводности с граничными условиями I рода на контур электрической модели подаются напряжения, пропорциональные моделируемым температурам. Подвод напряжений осуществляется через плоские или цилиндрические шины, прижимаемые или приклеиваемые к модели специальным электропроводным клеем.

Моделирование граничных условий II рода осуществляется путем задания плотности электрических токов, пропорциональных тепловым потокам. Ток плотностью i подается непосредственно к поверхности модели с де-

лителя напряжений или через регулируемые сопротивления Rq, которые включаются между границей модели и делителем напряжения. При этом плотность тока i определяется либо с помощью миллиамперметра, либо непосредственно по разности электрических потенциалов на достаточно малом участке электрической модели, непосредственно прилегающем к ее границе

æ	Du ö
çi » s	÷.
è	Dn ø

При решении задач теплопроводности с граничными условиями III рода в электрической модели приходится переходить к граничным условиям I рода. Для этого между шиной, на которую подается электрический потенци-

ал, соответствующий температуре среды Tf, и поверхностью модели включается дополнительное электрическое сопротивление из электропроводной бу-

20