3.7. Точность коэффициентов регрессии. Доверительные интервалы

Оценки коэффициентов регрессии зависят от используемой выборки значений переменных x иy и являются случайными величинами. Для характеристики точности полученных оценок можно использовать стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

Под стандартной ошибкой коэффициента регрессии понимается оценка стандартного отклонения функции плотности вероятности данного коэффициента.

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии определяются соотношениями:

(3.41)

где - остаточное среднеквадратическое отклонение;

диагональный элемент матрицы.

Величину можно вычислить по формуле:

(3.42)

где -алгебраическое дополнение к элементуjjматрицы.

Сопоставляя оценки параметров и их стандартные ошибки, можно сделать вывод о надежности (точности) полученных оценок.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии применяется t-критерий Стьюдента, основанный на том факте, что отношения

(3.43)

являются t-статистиками, т. е. случайными величинами, распределенными по закону Стьюдента с числом степеней свободыn-p-1. Черезобозначены точные значения коэффициентов регрессии.

Согласно t-критерию Стьюдента, выдвигается «нулевая» гипотезаH0о статистической незначимости коэффициента уравнения регрессии (т. е. о статистически незначимом отличии величиныилиот нуля). Эта гипотеза отвергается при выполнении условия>, гдеопределяется по таблицамt-критерия Стьюдента по числу степеней свободыk1 = n-p-1и заданному уровню значимости α.

t-критерий Стьюдента применяется в процедуре принятия решения о целесообразности включения фактора в модель. Если коэффициент при факторе в уравнении регрессии оказывается незначимым, то включать данный фактор в модель не рекомендуется. Отметим, что это правило не является абсолютным и бывают ситуации, когда включение в модель статистически незначимого фактора определяется экономической целесообразностью.

Доверительные интервалы для параметров уравнения линейной регрессии определяются соотношениями:

(3.44)

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т. е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается равным нулю, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

3.8 Прогнозирование по модели множественной регрессии

Прогнозирование по модели множественной линейной рег­рессии предполагает оценку ожидаемых значений зависимой переменной при заданных значениях независимых перемен­ных, входящих в уравнение регрессии. Различают точечный и интервальный прогнозы.

Точечный прогноз— это расчетное значение зависимой переменной, полученное подстановкой в уравнение множе­ственной линейной регрессии прогнозных (заданных иссле­дователем) значений независимых переменных. Если заданы значения, то прогнозное значение зависимой переменной (точечный прогноз) будет равно

(3.45)

Интервальный прогноз— это минимальное и максималь­ное значения зависимой переменной, в промежуток между которыми она попадает с заданной долей вероятности и при заданных значениях независимых переменных.

Интервальный прогноз для линейной функции вычисляется по формуле

, (3.46)

где — стандартная ошибка прогноза, вычисляемая по формуле

, (3.47)

где Х— матрица исходных значений независимых переменных;Хпрогн— матрица-столбец прогнозных значений независимых переменных вида

(3.48)

Для сравнения роли различных факторов в формировании моделируемого показателя определяется коэффициент эластичности () или- коэффициент (). Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признаку с изменением признака-факторана 1%, и определяется по формуле

, (3.49)

где — коэффициент регрессии при- ом факторе.

-коэффициент показывает, на какую часть среднего квадратического отклонения изменится результативный показатель при изменении соответствующего факторана величину его среднего квадратического отклонения; его формула имеет вид:

(3.50)

Долю влияния фактора в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта – коэффициентов :

(3.52)

.

Пример

Имеются статистические данные о значениях четырех показателей в разрезе 48 субъектов РФ, которые приведены в табл. 3.3:

1. Поступление налогов, сборов и иных обязательных платежей в консолидированный бюджет РФ (без поступлений ЕСН) в 2009 г., млн. руб.

2. Количество занятых в Российской Федерации в 2009 г., тыс. человек.

3. Объем отгруженных товаров собственного производства, выполненных работ и оказанных услуг собственными силамипо виду экономической деятельности «Обрабатывающие производства» в Российской Федерации в 2009 г., млн руб.

4.Объем отгруженных товаров собственного производства, выполненных работ и услуг собственными силами по виду экономической деятельности «Производство и распределение электроэнергии, газа и воды» в Российской Федерации в 2009 г., млн. руб.

Предположим, что зависимой переменной ув данном случае является «поступление налогов, сборов и иных обязательных платежей в консолидированный бюджет РФ». Для краткости будем называть эту переменную «поступление налогов». Независимыми переменными являются остальные три переменные, которые будем называть и обозначать как «количество занятых»X1; «отгрузка в обрабатывающих производствах»X2,«производство энергии»X3. Допустим также, что связь между зависимой и независимыми переменными может быть выражена в виде линейной функции регрессии

(3.53)

Некоторые экономические показатели деятельности

субъектов РФ в 2009 г.

Таблица 3.3

№ п/п	Субъект РФ	Поступление налогов, млн. руб.	Количество занятых, тыс. человек	Отгрузка в обрабатывающих производствах, млн. руб.	Производство энергии, млн руб.
		У	X1	X2	X3
1	Республика Ингушетия	1422,2	107,2	266	733
2	Еврейская автономная область	2529,7	82,3	2865	2040
3	Республика Тыва	2629,1	101,6	431	2023
4	Республика Алтай	2764,3	87,6	1228	1176
5	Карачаево-Черкесская Республика	3347,5	188,3	10 921	4275
6	Республика Калмыкия	3914,2	121,9	928	1495
7	Республика Адыгея	4400,8	187,1	12 565	3000
8	Республика Северная Осетия — Алания	5904	326,5	11 088	3337
9	Магаданская область	6956,7	97,1	2486	8305
10	Кабардино-Балкарская Республика	7595,1	352,5	17 609	5790
11	Республика Хакасия	9257,8	254,7	39 640	17 634
12	Чукотский автономный округ	9317,1	30,5	531	6226
13	Республика Марий Эл	9978,8	323,7	46 180	7489
14	Псковская область	10 144,80	323,3	32 074	5640
15	Чеченская Республика	10 215,40	357	579	6170
16	Республика Карелия	11 349,50	337,8	39 962	14 684
17	Курганская область	12 046,90	393	38 308	12 093
18	Республика Мордовия	12 061,40	439	65 507	7312
19	Костромская область	12 104,20	340,9	50 532	20 922
20	Камчатский край	13 042,40	190	11 245	12 721
21	Орловская область	13 104,30	375	38 089	9612
22	Ивановская область	13 396,40	491,2	42 865	18 506
23	Республика Дагестан	14 170,30	1104,1	21 031	12 573
24	Тамбовская область	14 227,00	499,5	47 738	9522
25	Новгородская область	16 868,50	322,5	80 915	8989
26	Республика Бурятия	18 019,40	392,3	29 660	12 532
27	Смоленская область	18 950,30	505,4	78 278	43 604
28	Курская область	19 995,50	536,5	67 241	43 733
29	Забайкальский край	20 445,60	482	7910	13 687
30	Липецкая область	21 220,80	575,5	228 812	17 311
31	Ульяновская область	21 360,00	619,1	76 523	16 471
32	Пензенская область	21 418,80	634,3	71 307	12 061
33	Кировская область	21 477,10	684	76 151	20 857
34	Чувашская Республика	21 816,30	608,4	85 926	17 071
35	Астраханская область	22 824,90	475,8	34 576	10 532
36	Брянская область	23 579,30	569,8	57 187	10 519
37	Амурская область	23 702,60	417,3	16 412	16 512
38	Калужская область	24 007,20	530,5	161 769	10 369
39	Тульская область	27 581,20	746,6	182 031	24 376
40	Вологодская область	28 057,50	617,8	236 267	23 180
41	Алтайский край	29 815,50	1125,5	115 197	24 804
42	Тверская область	32 236,50	687,4	103 158	44 961
43	Белгородская область	32 657,40	754,9	233 608	18 773
44	Владимирская область	32 672,70	688,4	142 867	20 093
45	Мурманская область	34 351,10	482,2	49 081	34 395
46	Воронежская область	36 050,40	1042,4	125 343	39 170
47	Рязанская область	36 544,30	522	95 522	23 932
48	Калининградская область	37 136,90	459,5	147 573	15 429

Источник: данные Росстата.

Применяя к исходным данным (см. табл. 3.3) МНК, оценим параметры регрессии. Система нормальных уравнений имеет вид

(3.54)

Произведение матриц в данном примере имеет вид:

		48	21591,9	3037982	716639
		21591,9	12748269,45	1826387866	403092447,4
		3037982	1826387866	3,83901E+11	61532048876
		716639	403092447,4	61532048876	16663650721

(3.55)

Отметим, что в матрице (3.55) приведены значения коэффициентов при параметрах системы (3.54).

Обратная матрица от (3.55):

		0,090330662	-0,000135839	6,71354E-08	-8,46746E-07
		-0,000135839	6,45061E-07	-1,05161E-09	-5,8789E-09
		6,71354E-08	-1,05161E-09	8,48229E-12	-8,77047E-12
		-8,46746E-07	-5,8789E-09	-8,77047E-12	2,71022E-10

(3.56)

Значения параметров системы (3.54) приведены в табл. (3.4)

Таблица 3.4

		3226,441
		12,448
		0,060
		0,310

(3.57)

Уравнение регрессии имеет следующий вид

(3.58)

Из уравнения регрессии следует, что между сбором налогов и независимыми переменными, входящими в модель, наблюдается прямая связь. Напомним, что коэффициенты при независимых переменных называются коэффициентами регрессии. Они являются абсолютными показателями силы связи и характеризуют среднее изменение зависимой переменной при единичном изменении независимой переменной — сомножителя данного коэффициента при условии неизменности остальных независимых переменных, включенных в уравнение (модель) регрессии.

Значения коэффициентовприведены в табл. 3.5

Таблица 3.5

	0,324	0,220	0,268
	0,307	0,373	0,340
	0,308	0,366	0,325

Сопоставляя полученные коэффициенты, можно сделать вывод о том,что наиболее сильное влияние на сбор налогов оказывает фактор .

Стандартные ошибки коэффициентов регрессии определены по соотношениями (3.57):

Таблица 3.6

1651,796

4,414

0,016

0,090

Значимости коэффициентов регрессии проверим по t-критерию Стьюдента

=

1,95

2,82

3,76

3,43

Учитывая, что выполняется условие>все коэффициенты, кроме, являются значимыми, где=2,0153.

Границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии следующие:

-102,536		6555,417
3,552		21,344
0,028		0,092
0,128		0,493

	1
	500
	65000
	15000

	1	500	65000	15000

5495,901163

18012,93

tкрит=

2,0153

=11198,48

6814,45

29211,41

Для получения таблиц регрессионной статистики и дисперсионного анализа воспользуемся режимом “Регрессия” EXCEL(табл.3.7 и 3.8 ).

Регрессионная статистика

Таблица 3.7

Множественный R	0,856
R-квадрат	0,733
Нормированный R-квадрат	0,715
Стандартная ошибка	5495,901
Наблюдения	48

Дисперсионный анализ

Таблица 3.8

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	3	3652714368	1217571456	40,31035571	1,10224E-12
Остаток	44	1329016902	30204929,59
Итого	47	4981731270