3.3. Выбор формы уравнения регрессии

Различают следующие виды уравнений множественной регрессии: линейные, нелинейные, сводящиеся к линейным, и нелинейные, не сводящиеся к линейным (внутренне нелинейные). В первых двух случаях для оценки параметров модели применяются методы классического линейного регрессионного анализа. В случае внутренне нелинейных уравнений для оценки параметров приходится применять методы нелинейной оптимизации.

Основное требование, предъявляемое к уравнениям регрессии, заключается в наличии наглядной экономической интерпретации модели и ее параметров.

Исходя из этих соображений, наиболее часто используются линейная и

степенная зависимости.

Линейная множественная регрессия имеет вид

(3.17)

Параметры при факторахназываются коэффициентами «чистой» регрессии.

Они показывают, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак y за счет изменения соответствующего фактора на единицу при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Предположим, например, что зависимость спроса на товар () от цены (P)

и дохода (I) характеризуется следующим уравнением:

Qd = 2,5 -0,12P + 0,23I.

Коэффициенты данного уравнения говорят о том, что при увеличении цены на единицу, спрос уменьшится в среднем на 0,12 единиц измерения спроса, а при увеличении дохода на единицу, спрос возрастет в среднем 0,23 единицы.

Параметр в (3.4) не всегда может быть содержательно проинтерпретирован.

Степенная множественная регрессия имеет вид

(3.18)

Параметры (степени факторов) являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится результативный признакy за счет изменения соответствующего факторана 1 % при неизмененном значении остальных факторов.

Наиболее широкое применение этот вид уравнения регрессии получил в производственных функциях, а также при исследовании спроса и потребления.

Например, зависимость выпуска продукции Y от затрат капиталаK и трудаL говорит о том, что увеличение затрат капиталаK на 1 % при неизменных затратах труда вызывает увеличение выпуска продукцииY на 0,23 %. Увеличение затрат трудаL на 1 % при неизменных затратах капиталаK вызывает увеличение выпуска продукцииY на 0,81 %.

Экономический смысл имеет также сумма коэффициентов каждого фактора (сумма эластичностей)э = . Эта величина дает обобщенную характеристику эластичности производства.

Если значение э> 1, то говорят, что функция имеет возрастающий эффект от масштаба производства. Значение э= 1 говорит о постоянном масштабе производства. Если значениеэ< 1, то имеет место убывающий эффект от масштаба производства.

3.4. Оценка параметров уравнения линейной

множественной регрессии

Рассмотрим уравнение линейной множественной регрессии

(3.19)

Применяя метод наименьших квадратов (МНК) получим следующую систему уравнений:

(3.20)

Решение системы (3.10) удобно записать с помощью матричных обозначеий. Обозначим

(3.21)

где A -матрица-столбец из (p+1) коэффициентов;

Y–матрица - столбец изnисходных значений зависимой переменнойy;

X -матрица ((p+1)×n) исходных значений независимых переменных, в которой первый столбец из единиц можно рассматривать как значения «фиктивной» переменной, соответствующей коэффициенту.

В этих обозначениях система (3.7) примет вид

(3.22)

где -транспонированная матрицаX. Матрицаявляется неособенной квадратной размерности (p+1×p+1) при условии, что столбцы матрицыX линейно независимы.

Решение системы (3.7) определяется соотношением

. (3.23)

Независимые переменные имеют различный экономический смысл, разные единицы измерения и масштаб. Если нужно определить степень относительного влияния отдельных факторовна изменение результативной переменнойy, то переменныеследует привести к сопоставимому виду. Это можно осуществить, вводя, так называемые, «стандартизованные» переменныес помощью соотношений:

(3.25)

где - средние значения,средние квадратические отклонения переменныхy и.

Стандартизованные переменные обладают следующими свойствами:

1) средние значения равны нулю

2) средние квадратические отклонения равны единице

Уравнения множественной регрессии в стандартизованных переменных принимают вид:

(3.26)

Величины называются стандартизованными коэффициентами. Их связь с коэффициентами множественной регрессиизадается соотношениями

. (3.27)

Параметр уравнения (3.6) можно определить из соотношения

... . (3.28)

Стандартизованные коэффициенты регрессии показывают, на сколько сигм (средних квадратических отклонений) изменится в среднем результативный признакy за счет изменения соответствующего фактора на одну сигму при неизмененном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

Система нормальных уравнений МНК (3.10) в стандартизованных переменных принимает вид:

(3.29)

Стандартизованные коэффициенты регрессии сравнимы между собой, что позволяет ранжировать факторы по силе их воздействия на результат.

Большее относительное влияние на изменение результативной переменной y оказывает тот фактор, которому соответствует большее по модулю значение коэффициента.

Отметим, что в случае парной линейной регрессии стандартизованный коэффициент регрессии β совпадает с линейным коэффициентом корреляции.

Для оценки параметров нелинейных уравнений множественной регрессии предварительно осуществляется преобразование последних в линейную форму (с помощью замены переменных) и МНК применяется для нахождения параметров линейного уравнения множественной регрессии в преобразованных переменных.

В случае внутренне нелинейных зависимостей (которые невозможно привести к линейному виду) для оценки параметров по методу наименьших квадратов приходится применять методы нелинейной оптимизации.