3; 1; 2; 1; 2; 1; 3; 3; 2; 3; 1; 2; 1; 1; 3; 3; 2; 2; 1; 3; 3; 2; 2; 3; 1; 2; 2; 1; 3; 1.

Серию коэффициентов автокорреляции уровней ряда с по­следовательным увеличением величины лага принято назы­вать автокорреляционной функцией (АКФ).

Для стационарного временного ряда с увеличением вели­чины лага взаимосвязь иослабевает и АКФ характери­зуется монотонным убыванием, что графически должно пред­ставлять затухающую кривую.

По стационарному ряду АКФ оценивается исходя из форму­лы коэффициента автокорреляции

(5.14)

где — средняя арифметическая по исходному ряду.

В примере АКФ для стационарного ряда составила: = - 0,209;= 0,056;= - 0,114;= - 0,356;= 0,057;= - 0,074;= - 0,003. Однако при ограниченной длине ди­намического ряда рассмотренное поведение АКФ не всегда соблюдается.

АКФ дает представление о внутренней структуре динами­ческого ряда. С помощью АКФ можно определить наличие или отсутствие в ряду динамики периодических колебаний и соответственно величину периода колебаний: она равна той величине лага , при которой коэффициент автокорреляции уровней наибольший.

Для динамического ряда с монотонной тен­денцией к возрастанию (или уменьшению) уровней АКФ имеет значения, близкие k +1, которые медленно снижаются с воз­растанием величины лага.

Если ряд характеризуется сменой тенденций, то АКФ при­мет значения, стремительно уменьшающиеся с возрастанием величины лага, сопровождаемые иногда сменой знака коэф­фициента автокорреляции.

Знание АКФ может помочь при подборе модели рассматриваемого динамического ряда.

Специфика изучения взаимосвязей по рядам динамики

Временные ряды как источник информации накладывают от­печаток на методологию построения регрессионных моделей. Это связано с возможной ложной корреляцией и ложной рег­рессией. Высокая корреляция между уровнями временных рядов может иметь место и при отсутствии реальной связи между явлениями. Если, например прокоррелировать дина­мические ряды заработной платы и дорожно-транспортных происшествий, то можно обнаружить коэффициент детер­минации, близкий к единице. Установление связи там, где ее на самом деле нет, означает, что имеет место ложная корре­ляция. Соответственно и уравнение связи в этом случае будет представлять собой ложную регрессию.

Наличие ложной корреляции и ложной регрессии связа­но с повышающейся тенденцией каждого из рядов динамики, с автокорреляцией их уровней. Поэтому при построении рег­рессионных моделей по рядам динамики требуется их предва­рительная специальная обработка.

Если ряды динамики характеризуются наличием тренда, то при построении модели регрессии надо учесть тренд, напри­мер исключить его. В противном случае корреляция уровней ря­дов динамики будет преувеличена (коэффициент корреляции будет близок к +1 при одинаковой тенденции в рядах и будет близок к -1 при противоположной тенденции). Предположим, что строится регрессия личных сбережений граждан от доходов населения по данным за ряд лет. Коэффициент детерминации при этом составил 0,95. Может показаться, что получен хороший результат и уравнение регрессии пригодно для прогноза. Однако анализируя остатки, мы обнаружим наличие в них ав­токорреляции. Следовательно, наше уравнение регрессии содер­жит систематическую погрешность, так как не учитывает влия­ние тенденции. Высокое значение коэффициента детерминации указывает лишь на то, что обоим рядам свойственна тенденция к повышению уровней. Наличие в двух рядах динамики детер­минированного тренда приведет, естественно, к ложной регрес­сии, которой нельзя воспользоваться для прогнозирования, так как остатки будут автокоррелированы и оценка параметра рег­рессии окажется неэффективной и не являющейся оценкой теоретического параметра связи между переменнымиx_tи.Модель регрессии по временным рядам пригодна для прогноза, только если остатки представляют собой стационарный ряд.

Если ряды динамики характеризуются не только тенденцией, но и периодическими колебаниями, то при построении модели регрессии следует учесть обе компоненты динамических рядов. В этом случае можно из первоначальных данных исключить как тенденцию, так и периодическую составляющую. Модель регрессии может быть построена либо по остаточным величинам, либо с включением в нее обоих компонент динамического ряда наряду с экономическими переменными.

Кроме того, изучая параллельные временные ряды, мож­но столкнуться с таким явлением, как временной лаг,т.е. запаздывание уровней одного ряда относительно другого. Например, спрос на товары длительного пользования может зависеть от доходов предыдущих лет. Инвестиции в основной капитал обычно зависят не только от прибыли текущего года, но и от прибыли прошлых периодов. Поэтому при изучении связи по рядам динамики сначала рассчитывается взаимная корреляционная функция, представляющая собой множество коэффициентов корреляции между уровнями рядовy_tиx_t, сдвинутыми относительно друг друга намоментов времени. Величина лага определяется по наибольшему коэффициен­ту корреляции. Если временной лаг существует, то он должен быть учтен в модели регрессии.

Определенные трудности при построении модели регрессии по временным рядам возникают в связи с проблемой мультиколлинеарности факторов, когда за счет тенденции объясняющие переменные оказываются тесно связанными между собой. Выходом из создавшегося положения может явиться построение модели регрессии по отклонениям от тренда.

Однако можно строить регрессию и по уровням рядов дина­мики, если удается при этом устранить автокорреляцию в ос­татках, применяя, например, обобщенный метод наименьших квадратов. Устранение автокорреляции в остатках возможно также путем изменения спецификации модели, включая, на­пример, в правую часть модели регрессии лагированные (за­паздывающие) переменные.

Учет тенденции при построении модели регрессии

Методы учета тенденции при построении модели регрессии по временным рядам делятся на две группы:

• методы исключения тенденции из уровней динамического ряда и построение модели по остаточным величинам;

• включение в модель регрессии фактора времени.