3.11. Фиктивные переменные

При изучении экономических взаимосвязей возникает необходимость

учесть в модели влияние качественного фактора (фактора, не имеющего количественного выражения), например пол потребителя, фактор сезонности, наличие государственных программ. Влияние качественных признаков может приводить к скачкообразному изменению параметров линейных регрессионных моделей, построенных для различных значений качественного признака. Такие модели называются регрессионными моделями с переменной структурой.

Чтобы учесть влияние качественного фактора в рамках одного регрессионного уравнения вводятся, так называемые, фиктивные переменные с двумя значениями 0 и 1. Например, изучается зависимость потребления товара y от величины дохода x с учетом пола потребителя. С использованием фиктивной переменной z

уравнение регрессии принимает вид

. (3.52)

Вводя новый член регрессии c*z, тем самым предполагаем, что пол

потребителя влияет только на величину свободного члена уравнения (параметрaхарактеризует объем потребления). Чтобы учесть влияние пола потребителяна величину коэффициента регрессииb(характеризующего «склонность» к потреблению), следует в модель регрессии ввести дополнительное слагаемое

d*z*x ,что дает

y=a+b*x+c*z+d*z*x+ԑ. (3.53)

Таким образом, модель (3.69) является объединением двух моделей для

мужчин и женщин

где

Проверка значимости коэффициентов при фиктивных факторах zиz·xпокажет значимость влияния качественного показателя на изучаемый признак инеобходимость включения в уравнение регрессии соответствующего члена.

Если качественный признак имеет более двух градаций признака, то вводится несколько фиктивных переменных, число которых на единицу меньшечисла градаций признака. Например, чтобы учесть сезонность, вводятся трификтивные переменные

(3.54)

и уравнение регрессии примет вид

Если качественных признаков несколько, то фиктивные переменные вводятся для каждого признака по таким же правилам.

3.12. Тест Чоу

Предположим, что имеется две набора наблюдений за совместным изменением двух зависимой и объясняющей переменной (xi,yi), полученные в различных условиях. Возникает вопрос можно ли считать две полученные выборкинаблюдений частями одной объединенной выборки или принципиально различными, для которых уравнения регрессии должны строиться отдельно. Ответ на этот вопрос дается с помощью теста Чоу.

Рассмотрим уравнения регрессии, построенные по первой, второй и объединенной выборкам

Обозначим суммы квадратов остатков регрессии, полученных по первой,второй и объединенной выборкам

Согласно тесту Чоу, нулевая гипотеза H0о том, что две выборки являютсячастями одной объединенной выборки, отвергается при уровне значимости α,если выполняется условие

Лекция № 4

Системы одновременных уравнений

4.1. Структурная и приведённая форма модели

Сложные экономические процессы описываются с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений. Различают следующие виды эконометрических систем:

• системы независимых уравнений;

• системы рекурсивных уравнений;

• системы взаимозависимых уравнений.

Система независимых уравнений— каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора фактора х:

Каждое уравнение такой системы может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов.

Система рекурсивных уравнений— зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений и набор фактора х:

В таких моделях уравнения оцениваются последовательно (от первого уравнения к последнему) с использованием МНК.

Система взаимозависимых уравнений— одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других — в правую часть системы:

Структурной формой модели (системой одновременных уравнений) называется система уравнений, в каждом из которых аргументы содержат не только объясняющие переменные, но и объясняемые переменные из других уравнений.

Уравнения, составляющие исходную модель, называются структурными уравнениями модели.

Простейшая структурная форма модели имеет вид:

(1)

где и— зависимая и независимая переменные,, и— случайные члены, а () — параметры модели.

Параметры структурной формы модели называются структурными коэффициентами.

Структурная форма модели обычно включает в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и уравнения, отражающие тенденцию развития явления, а также разного рода уравнения-тождества. Тождества не содержат каких-либо подлежащих оценке параметров, а также не включают случайного члена.

В процессе оценивания параметров одновременных уравнений следует различать эндогенныеиэкзогенныепеременные. Приставки «эндо» и «экзо» означают соответственно внутреннее и внешнее.

Эндогеннымисчитаются переменные, значения которых определяются внутри модели. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений системы.

Экзогенными считаются переменные, значения которых определяются вне модели. Это заданные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

В качестве экзогенных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные).

Предполагается, что в каждом уравнении экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом.

В общем случае эндогенные переменные коррелированы со случайным членом, поэтому применение МНК к структурной форме модели приводит к смещенным и несостоятельным оценкам структурных коэффициентов.

Для определения структурных коэффициентов структурная форма модели преобразуется в приведенную форму.

Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие.

Например, приведенная форма исходной модели (1) имеет вид:

(2)

где — параметры приведенной формы, аи— случайные члены.

Параметры приведенной формы модели называются коэффициентами приведенной формы (приведенными коэффициентами). Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным МНК, поскольку экзогенные переменные некоррелированы со случайным членом.

Оцененные коэффициенты приведенной формы могут быть использованы для оценивания структурных коэффициентов. Такой способ оценивания структурных коэффициентов называется косвенным методом наименьших квадратов.

Приведенная форма модели аналитически уступает структурной форме, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными. При переходе от приведенной формы к структурной возникает проблема идентификации. Идентификация— это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

Тот или иной структурный коэффициент может либо однозначно выражаться через приведенные коэффициенты, либо иметь несколько разных оценок, либо совсем не выражаться через них.

Структурный коэффициент называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единствен, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок; в противном случае он называется неидентифицируемым.

Какое-либо структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и всё уравнение является неидентифицируемым.

Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема.