Модели скользящей средней

Среди моделей для стационарных временных рядов широкое распространение имеют модели скользящей средней.

Для стационарного ряда моделируемый уровень временно­го ряда можно представить как линейную функцию прошлых ошибок, т.е. разностей между прошлыми фактическими и те­оретическими уровнями:

(5.62)

где —константа;— белый шум в текущий и пре­дыдущий период времени:

. (5.63)

Термин «скользящая средняя», используемый здесь, не си­ноним скользящей средней как методу сглаживания уровней динамического ряда.

В модели (5.62) уровень динамического ряда рассматрива­ется как сумма константы и скользящей средней между те­кущими и предыдущими значениями белого шума (случай­ных отклонений).

Обозначим скользящую среднюю модели (5.62) через x_t:

*

(5.64)

Уравнение (5.64) принято называть процессом скользя­щего среднего порядка qи обозначать какМА(q) от англий­скогоMovingAverage.Порядок скользящей средней определя­ется числом учитываемых в модели предыдущих значений случайных отклонений. Так,МА(2) можно записать кака модель уровня динамического ряда с использованиемМА(2) будет иметь вид

Соответственно модель уровня ряда с использованием MA(1) примет вид

При q =0 и= 0 получаем процесс белого шума.

Временные ряды с использованием процесса скользящего среднего могут иметь место, когда уровни динамического ряда характеризуются случайной колеблемостью.

Модели arma

Соединение в одной модели авторегрессионного процесса ARи модели скользящего среднегоМАприводит к моделиавторе­грессионного процесса со скользящими средними в остатках

(ARMА — отанглийскогоAuto Regressive — Moving Average):

(5.65)

В модели (7) в качестве объясняющих переменных рас­сматриваются лаговые значения зависимой переменной с рин­тервалами сдвига и скользящие средние порядкаqдля остат­ков авторегрессии. Иными словами, модель включает в себяAR(р) иМА(q). Ее принято обозначатьARMA (р,q). Например,ARMA(3, 2) имеет вид

(5.66)

При практической реализации моделей ARMAнаиболее сложным является выбор числа лаговриq.

Инструментом идентификации модели ARMAявляется изуче­ние частной автокорреляционной функции по моделям с раз­ным числом лагов.Частная автокорреляционная функция (PACF—PartialAutocorrelationFunction) представляет собой серию частных коэффициентов автокорреляции (РАС), кото­рые измеряют связь между текущим уровнем динамического рядаи предыдущими значениямив усло­виях, когда влияние других промежуточных временных ла­гов устранено. Так, частный коэффициент автокорреляции при лагеkбудет представлять собой корреляциюи,очищенную от влияния.

Обозначим частный коэффициент автокорреляции с ла­гом kчерез ρ(k). Приk = 0 ρ(0) = 1 (уровни ряда коррелиру­ют сами с собой); приk= 1, где— коэффици­ент автокорреляции первого порядка. Это равенство связано с тем, что при расчете ρ(1) отсутствуют промежуточные лаги. Вычисление ρболее высокого порядка можно производить по формулам

Для авторегрессионного процесса порядка ρ частная авто­корреляционная функция отлична от нуля при k ≤ ρ и равна нулю приk>ρ.Это и позволяет определять порядок ρ про­цессаAR. Так, для моделиAR(1):ρ(2) близ­ко к нулю.

Для модели типа МА(q) порядокqопределяется по поведе­нию автокорреляционной функции: приkрr_астремится к нулю. Для моделиARMA(р, q) автокорреляционная функция характеризуется убыванием, начинающимся с лагаq, а час­тная автокорреляционная функция убывает, начиная с лага ρ. Так, для моделиARMA(1,1) при>0ACFнаблюдает экс­поненциальное затухание с лага 1,aPACF— осциллирующее убывание с лага 1. При<0ACFдля моделиARMA(1,1) на­блюдает осциллирующее убывание с лага 1,aPACF— экспо­ненциальное затухание с лага 1.