1.Системою лінійних рівнянь- наз. с-ма м вигляду.(1)

де х,=

Коефіцієнти при невідомому утв. таблицю, яка наз. матрицею розміру mn

якщо m=n, то матриця наз. квадр. порядку n

Одинична матриця- квадр. матр. на головній діагоналі якої стоять 1 решта елем. =0.

Змінні і вільні члени можна пред. у вигляді таких матриць

Розв’язок СЛР- наз. така сукупність чисел , які перетворюють кожне з рівнянь системи в тотожність.

Якщо СЛР має розв.- наз. сумісною, якщо ні- то несумісна.

Якщо СЛР має єдиний розв’язок- визначена, якщо більше- невизначена.

Зауваження:

другого порядку

2СЛР- наз. еквівалентними, якщо ці системи мають одну й ту саму множ. розв’яз. або вони одночасно несумісні.

Елементарні перетворення СЛР-такі перетворення + до обох частин деякого рівняння с-ми іншого рівняння множ. на деяке число.

Переставлення двох будь-яких рівнянь, множення деякого р-ня на число, яке не =0, видалення з сист. рівняння вигляду 0=0.

Доведення: Нехай до 2-го рів-ня додали 1-ше помнож. на. Утв. нове рівняння. НехайL= ,L-два рівняння початкової системи. Рівняння L замінимо на . Якщо прав. рівностііLпоч.. с-ми, то викон. рівності L= і . навпаки, якщо викон. рівностіL= і перетворення с-ми, то правильні рівностіL= і L-початков.

2.Метод Гаусса- це спосіб роз. СЛР, що полягає у перетворенні с-ми, у таку еквіваленту, розв. якої знаходь. досить легко.

Нехай в СЛР (1)

Якщо , то шукаємоа з номером і, який не = 0.

переставляємо місцями відповідні рядки, виключаючи з усіх рядків с-ми поч. з 2-го, зміну х, таким чином множимо перший рядок на та віднімаємо від і-го р-ня,

одержимо еквівалентну систему.

Застосовуємо аналогічні дії для вилуч. змінної спираючись на 2-ге рівняння . В результаті перетворень може виник. р-ня, то якщо, то р-ня

виключаємо з системи; якщото система несумічна. Якщо СЛР сумісна, то метод Гаусса дасть такий результат:

де , якщо було р-ня 0=0);(якщоk=n, то сис-ма визначена, бо з останнього р-ня можна знайти ), а потім знайти решту змінних.

Якщо , то система невизначена, тазмінних знайдемо черезвільних змінних, тобто безліч розв’язків.

Висновок: метод Гауса можна застос. для розв. будь- якої СЛР.

СЛР наз. однорідною, якщо всі вільні члени=0, інакше вони наз. неоднорідними.

Однорідна с-ма завжди сумісна.

3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.

Означення :

Визначником 2–го порядку називається число (алгебраїчний вираз), що визначається за таким правилом :

а₁₁ а₁₂

∆=│ а₂₁ а₂₂ │= а_11*а₂₂-а_12*а₂₁

Властивості визначників 2-го порядку:

1.значення визначника не зміниться при його транспортуванні ( при заміні рядків відповідними стовпчиками і навпаки):

а₁₁ а₂₁

∆^т =│ а₁₂ а₂₂│

∆ = ∆^т

Наслідок : рядки та стовпці визначника рівноправні, отже всі властивості, які мають місце для рядків, вірні і для стовпців.

2.при переставленні двох рядків (стовпців) визначник змінює знак на протилежний:

∆^{' =} а₁₁ а₁₂ = а₂₁ а₂₂ = (а_21*а₁₂ – а_11* а₂₂) = –∆

а₂₁ а₂₂ а₁₁ а₁₂

3.спільний множник всіх елементів деякого рядка (стовпця) можна винести за знак визначника :

∆= λа₁₁ λ_{12 =} λа₁₁а₂₂ – λа₁₂а₂₁ = λ(а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁ ) = λ ∆

а₂₁ а₂₂

4.якщо у визначнику всі елементи деякого рядка ( стовпця) є сумами двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох визначників, що відрізняються від заданого вибраним рядком, а саме : у першого цей рядок складається з перших доданків, а у другого – з других.

∆ = а¹₁₁+а¹¹₁₁ а¹₁₂+а¹¹₁₂ =а_22* ( а¹₁₁ + а¹¹₁₁) – а_21* (а¹₁₂ + а¹¹₁₂)

а₂₁ а₂₂

∆ = а¹₁₁+а¹¹₁₁ а¹₁₂+а¹¹₁₂ = а¹₁₁а¹₁₂ + а¹¹₁₁ а¹¹₁₂ = а₂₂ х

а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂ а₂₁ а₂₂

х(а¹₁₁ + а¹¹₁₁) – а₂₁ ( а¹₁₂ + а¹¹₁₂)

5.визначник дорівнює нулю при виконанні однієї з наступних умов:

1)всі елементи деякого рядка (стовпця) дорівнюють нулю;

2)всі елементи деякого рядка (стовпця) пропорційні відповідним елементам іншого рядка ( ст.)

∆= а в = 2ав-2ав = 0

2а 2в

3)якщо є два однакових рядки ( стовпці)

∆ = а в = ав – ав =0

а в

6.визначник не змінить свого значення, якщо до елементів деякого рядка ( ст.) додати відповідні елементи іншого рядка ( ст. ), домноженого на деяке число.

а₁₁ а₁₂+λа₁₁ а₁₁ а₁₂ а₁₁ λа₁₁ а₁₁ а₁₁

а₂₁ а₂₂+λа₂₁ = а₂₁ а₂₂ + а₂₁ λа₂₁ = ∆ + λ│а₂₁ а₂₁│= ∆

4.Визначник 3-го порядку. Алгебраїчні доповнення та мінори. Формула Лапласа.Означення :

Визначником ( детермінантом) 3-го порядку називається число ( алгебраїчний вираз ), що визначається за правилом

а₁₁ а₁₂ а₁₃

∆ = а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₁₁а₂₂а₃₃+а₁₂а₂₃а₃₁₊а₂₁а₃₂а₁₃-а₃₁а₂₂а₁₃-а₂₁а₁₂а₃₃-а₁₁а₃₂а₂₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Зауваження: означення визначника 3-го порядку виписується за допомогою правила трикутників.

Зауваження : визначник можна обчислити за правилом Сарюса:

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₁₁ а₁₂

∆= а₂₁ а₂₂ а₂₃ = а₂₁ а₂₂ а_{23 21} а₂₂

а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₂ а₃₃ а₃₁ а₃₂

Властивості 1-6 визначника 2-го порядку мають місце і для визначника 3-го порядку.

Властивість 7(формула Лапласа) : визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (ст.) на відповідні цим елементам алгебраїчні доповнення:

∆ = а_і1А_і1 + а_і2А_і2 + а_і3А_і3; і= 1,3

∆ = а_1jA_1j + a_2jA_2j + a_3jA_3j; j =1,3.

Властивість 8: сума добутків елементів будь-якого рядка (ст.) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (ст.) дорівнює нулю.

∆ = а₁₁А₁₁+ а₁₂А₁₂ + а₁₃А₁₃

0=а₁₁А₂₁+а₁₂А₂₂+а₁₃А₂₃

Метод нагромадження нулів – це метод обчислення визначника, що спирається на властивість 6-7 і полягає у послідовному застосуванні властивості 6 з метою утворення в деякому рядку (ст.) певну кількість нулів, а потім застосовується властивість 7.

Означення :

Мінором (М_{i j}) i,j=1,3 визначника ∆, що відповідає елементу а_{i j} цього визначника, називається визначник 2-го порядку, здобутий з визначника ∆ викресленням і-го рядка і j-го стовпця, на перетині яких стоїть а_{і j.}

а₁₁ а₁₂ а₁₃ а₂₁ а₂₃

∆₌ а₂₁ а₂₂ а₂₃ М₁₂= а₃₁ а₃₃

а₃₁ а₃₂ а₃₃

Означення :

Алгебраїчним доповненням елемента а_{і j} визначника ∆ називається число ( алгебраїчний вираз ) , що дорівнює А_{i j} = (-1)^i+j_* M_{i j}