- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.
- •10. Проекція вектора на вісь.
- •11 Декартова система координат
- •Застосовуючи проекції маємо
- •За т.Піфагора маємо
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •15. Векторне і нормальне рівняння площини.
- •17. Кут між двома площинами.
- •19. Пряма в просторі
- •20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині
- •21. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.
- •24. Канонічне рівняння параболи, її геометричні властивості.
- •25. Загальне рівняння кривої другого порядку.
- •26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •37. Раціональні дроби
- •39. Вимірність і базис векторного простору. Перетворення координат при переході до нового базису.
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
52 Зведення кф до канонічного вигляду
Рангом КФ наз. Ранг її матриці А. при зміні змінних х=Су КФ переходить у КФ від нових змінних у1,у2,…,уn . Перетворення змінних х=Су назив. не виродженим, якщо матриця С є не виродженою. Канонічною виглядом КФ назив. представлення її як алгебраїчні сума квадратів f(y)=∑ni=1 λiyi2, де λi≠0, к-ть ненульових доданків = рангу КФ. Нормальним виглядом КФ назив. представлення f(y)=y12+ y22+...+ yp2- y1+p2- yr2 (ця форма одержана з канонічної уі=1/(| λi |)0.5yi/ , λi≠0).
Теорема
Для того, щоб симетр.А можна подати у вигляді А= QΛQT, де Q – ортогональна, Λ – діагональна, необхідно і достатньо щоб Q складал. З ортонормованих власних векторів А, а Λ мала діагональні елементи відповідні власні значення А.
Теорема
Будь-яку КФ ортогоню перетворень можна звести до канонічного вигляду. Нехай Q – ортогональна матриця, що складена з ортонормованих власних векторів А. QT = Q-1 х= Qу, у= QT х. розглянемо КФ хтАх=хт QΛQTх=ут Λу=∑ni=1 λiyi2.
Теорема (закон інерції КФ)
К-ть доданків з додатніми (від’ємними) коефіцієнтами в нормальному вигляді КФ не залежить від способу зведення КФ до цього вигляду.
Методи зведення КФ до канонічного вигляду
метод Лагранжа – виділення повних квадратів
застосування ортогонального перетворення
53) Поняття множини. Рівність множин.
Множина- первинне визначення математичного аналізу. Поняття множини вважається первісним і інтуїтивним. Множина задається правилом або ознакою відповідно до якого визнач. Чи належить деякий елемент множ. чи ні.
А={а}, де А складається або з множ. склад. з 1 елемента а малого.
Множину можна задавати за допомогою переліку її елементів А={а ,в, с...}
є А- елемент а належить множині А
- а не належить множині А
Елементи множини А, що мають власн. Р
А1={а єА (а має вл. Р)}
А1 ={а: (а є А)(а має вл. Р)}
Часто замість кон’юнкції вектор., множина В наз. підмножиною множини А .
В підмножина А
Позначимо - універсальна множина та будемо розглядати всі інші множини як підмножини універсальної.
Порожньою множиною наз. множина, що не містить жодного елемента.
Множина А і В назив. Рівними, якщо вони містять одні й ті самі елементи
А=В (АВ)(ВА)
Позначення
Множина натуральних чисел : N= {1,2,3…}
Z0- множина не „-” цілих чисел
Z0- {0,1,2,3…}
Z- {0,1,2…}
Q= {}
Q- раціональні
С- комплексні
На множину натуральних чисел вводиться операція „+”і виконуються такі влас. (аксіоми):
якщо n є N( n +1) є N
1 є М (деяка множина), (n є М(n +1) є М ) N М- аксіома індукції
54) Операції над множинами.
Перерізом множин А і В наз. Множина, що складається із спільних елементів множин А і В
Для ілюстрації операції викор. круги Ейлера або діаграми Вєна.
Об’єднана множина А і В, наз. множина яка містить тільки ті елементи, які належать А або належать В
Різницею множини А і В наз. множина, яка містить тільки ті елементи, що належать А і не належать В .
Доповненням множ. А наз. множ. , яка містить тільки ті елементи, що не належать А.
Поняття перерізу і об’єднання множин можна поширити на декілька множин
Властивості операцій над множинами:
1) - ця властивість означає, що відносно операц. Перерізу та об’єднанняє замкненою.
2) - комутативність
3) - асоціативність
4)
5)
6))
7)
8)
9)
правило де Моргана
Порядкованою парою елементів а є А, в є В, наз. послідовність (а, в), якщо чітко вказано номер компоненти.Декартовим добутком множ. А і В наз. множина всіх впорядкованих пар елементів множин А і В.