- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.
- •10. Проекція вектора на вісь.
- •11 Декартова система координат
- •Застосовуючи проекції маємо
- •За т.Піфагора маємо
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •15. Векторне і нормальне рівняння площини.
- •17. Кут між двома площинами.
- •19. Пряма в просторі
- •20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині
- •21. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.
- •24. Канонічне рівняння параболи, її геометричні властивості.
- •25. Загальне рівняння кривої другого порядку.
- •26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •37. Раціональні дроби
- •39. Вимірність і базис векторного простору. Перетворення координат при переході до нового базису.
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
55) Означення функції. Види відображень.
Відображенням множини Х у множину У називають відповідність яка кожному елем. Множ. Х ставить у відповід. єдиний елемент множини У.
Позначимо ф-ї або відображення:
1)
2)
3)
В цьому випадку кажуть, що ф-я задана явно, тобто з-н відповід. між елементами множин. Формалізований за допомогою матр. формули.
4)
Елементи наз. -незалежна зміна –аргумент-прообраз елемен. у=f(x)при відображенні f.
Елемент у = f(х)=У наз. –знач. функції- залежна зміна – образ елемента х при відображ. f.
Х-область визначення функції
Уf-область значень функції
Розглянемо такі підмножини
Образом множини D при відображенні f наз. Множина f(D)
Позначимо звуження відображенняf на множину
Прообразом множ. Е при відображенні f наз. множина
Аналогічно позначається то тоді
Відображення наз. Ін”єктивним, сюр”активним, бієктивним.
Ін”єктивним –якщо різним значенням аргумента відповідають різні значення функції, або якщо дляр-няf(х)=у має не більше ніж один корінь
Відображення назив. сюр”єктивним якщо обл.. з-нь відображень збігається забо якщор-няf(x)y=y
Відображення наз. бієктивним відображеннямх на у якщо воно ін”єктивне і сур”єктивне одночасно або якщо для будь якого у є У р-ня f(х)=У має єдиний розв’язок.
Графіком відображ.
58. Аксіоми множин дійсних чисел
Означення: підмножиною R дійсних чисел розуміють множину, що складається більше, ніж з одного елемента та задовольняє аксіомам I-V. Елементи цієї множини називаються дійсними числами
Аксіоми додавання:
R визначено єдине число, яке називається їх сумою і позначається a+b)R
так, що при цьому виконується:
I1. a+b = b+a
Ι2. (a+b)+c = a+(b+c)
I3. 0R таке, що а+0=а
Ι4. аR(-а), яке (-а)R таке, що а+(-а)=0.
а,bR , можна визначити (а- b) R : а- b= а+(- b)
ΙI. Аксіоми множення:
R визначено єдине число, що називається добутком цих чисел і позн. а,bR так , що виконується:
II1. ab = ba
II2. (ab)с = a(bс)
II3. 1R таке, що а*1=а
II4. аR, а0, ()R таке , що а* =1
а,bR,b0, можна ввести операцію ділення
а: b= = а
ΙΙΙ. Аксіома зв’язку операцій додавання і множення а,b,сR
(а+b)с= ас + bс дистрибутивність
Аксіоми впорядкованості а,bR, а іb-різні, виконується або а< b. Притому виконується:
ΙV1. а< b b< са<с – транзитивність
ΙV2. а< b,сRа+с< b+с
ΙV3. а< bс>0ас< bс
Зауваження:
Впорядкованість аb означає, що (а< b)( а= b)- виконується ΙV1 – ΙV3
Крім того має місце аа – рефлексивність
аb і bа, то а= b – анти симетричність
аксіома неперервності: двох не порожніх числових множинX,YR таких, щоxX, yY x y існує сR таке, щоxсy
зауваження: з аксіом ΙV2 і ΙV3 випливає властивість цільності множини дійсних чисел: для будь-яких різних а,bR , а<b існує сR таке, що а< с <b
доведення: дійсно а=а, b=b, а<b.
2а< а+b а+b<2b
2а< а+b<2b
а<<b , де = с