- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.
- •10. Проекція вектора на вісь.
- •11 Декартова система координат
- •Застосовуючи проекції маємо
- •За т.Піфагора маємо
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •15. Векторне і нормальне рівняння площини.
- •17. Кут між двома площинами.
- •19. Пряма в просторі
- •20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині
- •21. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.
- •24. Канонічне рівняння параболи, її геометричні властивості.
- •25. Загальне рівняння кривої другого порядку.
- •26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •37. Раціональні дроби
- •39. Вимірність і базис векторного простору. Перетворення координат при переході до нового базису.
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
66) Зчисленна потужність
Озн: Множина – рівнопотужна N називається зчисленною множиною , а потужність (N) – зчисленна потужність
Властивості зчисленних множин
1) будь-яка нескінченна множина містить зчисленну підмножину.
Доведення: Нехай Х –нескінченна множина, тоді х1Х
Розглянемо множину Х\{x1}0 . х2Х\{x1}, продовжуючи цей процес , побудуємо множину {x1,x2,…,xn,…}X
2) Будь-яка нескінченна підмножина зчисленної множини – зчисленна.
3) Якщо кожна з множин x1,x2,…,xn,… не більше ніж зчмсленна ( зкінченна або зчисленна), то об’єднання цих множин, теж не більше ніж зчисленна.
Теорема: Множина всіх раціональних чисел - зчисленна
Доведення: Випишемо всі раціональні числа, подавши їх у вигляді таблиці, що має нескінченну кількість рядків і стовбців.
В кожному n-му рядку роз-ні раціональні нескоротні дроби із знаменником n
Після впорядкування: Q~N
Теорема: будь- який відрізок множини дійсних чисел складається з несчисленної множини точок.
67) Континуальна потужність
Зауваження: [a,b]~[c,d]~ [0,1]
([0;1]) – континуальна потужність
R ~ (0;1) ~ [0,1]
Отже (R) = ([0,1]) ((R)- континуальна потужність)
Гіпотеза Кантора : Не існує потужності більшої за счисленну і меншої за континуальну.
Доведення (від супротивного)
[a,b] , a<b , a,bR Припустимо , що відрізок – счисленна множина
[a,b]={x1,x2,…,xn,…}
[a1,b1][a,b] x1не[a1,b1] x1не[a2,b2][a1,b1][a,b]
Одержимо систему вкладених відрізків [an,bn][a,b] , вони не містять точок x1,x2,…,xn .Отже жодна точка хn, n N не буде належати прерізу вкладених відрізків. [an,bn]
З іншого боку вкладені відрізки мають:
[an,bn] n N
[a,b] => n0N
=xn0 => xn0=[an0,bn0] - суперечність по будові вкладених відрізків
Висновок :відрізок АВ - несчисленний