- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.
- •10. Проекція вектора на вісь.
- •11 Декартова система координат
- •Застосовуючи проекції маємо
- •За т.Піфагора маємо
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •15. Векторне і нормальне рівняння площини.
- •17. Кут між двома площинами.
- •19. Пряма в просторі
- •20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині
- •21. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.
- •24. Канонічне рівняння параболи, її геометричні властивості.
- •25. Загальне рівняння кривої другого порядку.
- •26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •37. Раціональні дроби
- •39. Вимірність і базис векторного простору. Перетворення координат при переході до нового базису.
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
19. Пряма в просторі
1.) r=r0+ts, де r-радіус-вектор змінної точки М, r0-радіус вектор заданої точки М0,
s- ненульовий напрямний вектор t-параметр.
tЄR
2.)r =(x,y,z) r0=(x0,y0,zo)
S=(l,m,n)
x=x0+l
y=y0+tm параметричне рівняння
z=z0+tn
3) (x-x0) = (y-y0) = (z-z0) канонічне рівняння
L m n
4) Рівняння прямої через дві задані точки
(x-x1) = (y-y1) = (z-z1)
x2-x1 y2-y1 z2-z1
Загальне рівняння прямої
Пряма задається за допомогою перетину двох площин
A1x+B1y+C1z+D1=0 де
A2x+B2y+C2z+D2=0
Зауваження: Для зведення з загального рівняння прямої до канонічного треба деяку точку спільну для обох площин, ця точка належатиме прямій.
Наприклад:A1 B1
A2 B2
Напрямний S можна взяти колінеарним S|| N1*N2, де N1,N2 нормальні вектори s=напрямний вектор прямої
20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині
Нехай прямі л1 та л2 задано рівняннями:
(x-x1) = (y-y1) = (z-z1) (x-x2) = (y-y2) = (z-z2)
m1 n1 p1 m2 n2 p2
Кут між цими прямими дорівнює куту β між її напрямними векторами s1=(m1,n1,p1) s2=(m2,n2,p2) тому дістанемо:
Соs β =s1*s2 = m1*m2 +n1*n2+p1*p2 ________
|s1|*|s2| √ (m1*m1+n1*n1+p1*p1) * √((m2*m2+n2*n2+p2*p2)
Умови належності двох прямих площині:
L1:S1,M1; x2-x1 y2-y1 z2-z1
L2:S2,M2; l1 m1 n1 = 0
M1M2*S1*S2=0 l2 m2 n2
21. Кут між прямою і площиною
sin=cos(-) =
22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
1)означення
Еліпсом називається множина точок площини, для яких сума відстаней до 2-ох фіксованих точок(фокус) є величиною сталих.
Складемо рівняння еліпса
Нехай F1,F2 –фокус еліпса
Якщо F1=F2 то еліпс являється колом.
Вибираємо систему координат так, щоб фокуси мали координати
F1(-c;0) F2(c;0) c > 0
|F1 F2| = 2c Беремо довільну точку М(х;у) |M F1| = r |M F2| = r r , r - фокальні радіуси точки еліпса, тому
r+ r =2a, a>0
a>c(з властивостей сторін трикутника)
r = |M F1| =
r = |M F2| =
підставляємо в рівняння зв’язку і будемо мати
+ =2а
(x + c)+ y=4a- 4a+ (x-c)+ y
a=a- cx
ax- 2acx +ac+ ay= a- 2acx + cx
(a- c)x+ ay= a(a- c)
b= b= a- c
bx+ ay= abінакше
+ =1 |
Властивості еліпса:
1) |x| ≤ a ; |y| ≤ b еліпс знаходиться в середині прямокутника із сторонами 2а і 2b еліпс має 2осі симетрії , та центр симетрій. якщо еліпс задано рівнянням 1, то ОХ, ОУ –вісі симетрії 0-центр симетрії.
Вісі симетрії називають головними осями еліпса, центр симетрії-центром еліпса.
точки перетину еліпса з головними осями називаються ВЕРШИНАМИ еліпса
y=f(x) x[a,b] f(….)
2) Еліпс є результатом стиснення кола.