37. Раціональні дроби

Дробово-раціональною ф-кцією (рац дробом) наз частка дфох мнч

g(x) не дор нулю

Якщо степінь знаменника більше(менше)Ю ніж степінь чисельника, то дріб—правильний(непр)

Дріб наз нескоротним, якщо чис і знам –взаємнопрості

Теорема Б-який рац дрію можна представити у вигляді мнч і правильного дробу

f(x)=g(x)*q(x)+r(x);

=q(x)+ степіні ер менше за степінь дж-за властивістю дільника та остачі

Озн—Правильний дріб наз елементарним, якщо знаменник—степінь незвідного мнч

Тобто, це дроби виду

A-число

Теорема Б-який рац прав дріб можна однозначно представити у вигляді суми елементарних дробів

39. Вимірність і базис векторного простору. Перетворення координат при переході до нового базису.

Максимальна кількість лінійно-незалежних векторів ВП називається його розмірністю і позначається dim R=n, тобто R – n-вимірний простір. Якщо ( а1 а2 ……..аn) – лінійно-незалежна система n – вимірного простору, то додавання будь-якого вектора до даної системи перетворює її у лінійно-залежну систему. Отже, будь-який ( n+1 ) – вектор є лінійною комбінацією векторів а1 а2..аn.

Будь-яка лінійно-незалежна система, що складається з n-векторів називається базисом n-вимірного простору.

Розкладом н-вимірного вектора за базисом е1, е2,….ен називається представленням:

а = αi еi, де αi належить R, аі називається координатами вектора а відносно базиса е1, е2, …., ен.

Теорема : Координати вектора відносно деякого базиса визначаються однозначно.

а = ( знак суми) αі еі = ( знак суми) αі’ еі => ( знак суми) (αі- αі’) еі = 0 => αі- αі’ = 0 ( і=1,н)( з означення лінійної незалежності); α і= αі’, тобто розклад однозначний. Зауваження :

α1

а |( α2 ) – елемент арифметичного простору.

( . )

.

( αн )

Введення поняття розкладу вектора за базисом дозволяє перевести операції над векторами на мову операцій над координатами цих векторів. Отже, загальний н-вимірний простір улаштований так само, як арифметичний простір м*н.

З’ясуємо, як перетворюються координати при зміні базису.

Нехай е1, е2,….,ен – старий базис, а е1’, е2’, …., ен’ – новий базис. Нехай відомі координати векторів нового базису відносно старого.

(1) ej’=qij ei , де qij - координати розкладу.

q11 q12 …..q1n

( е1’, е2’, …., ен’)=( е1, е2,….,ен)* ( q21 q22 … q2n)

……………………

qn1 qn2 …..qnn

( е1’, е2’, …., ен’)^T=( е1, е2,….,ен)^T *Q (2), Q- матриця переходу від старого базису до нового. Розглянемо довільний базис вектора і розкладемо його:

α1 α1’

(3) а= αн αi еi= αi’ еi’ , де (α2 ) та (α2’)

αн αн’

відповідно координати вектора а в старому та новому базисах.

α1 α1’

( α2)= Q ( α2’ )

αн αн ‘

Покажемо, що Q невироджена: det Q не дорівнює 0.

Q – невироджена, отже існує Q^-1.

α1’ α1

( α2’) = Q^-1 (α2) . . αн’ αн (в стовпчик)