- •3. Визначники 2–го порядку та їх властивості.
- •5Формула Крамера для систем лінійних алгебраїчних рівнянь іі і ііі порядків.
- •Доведення:
- •6Означення визначника n-го порядку
- •7Властивості визначників n-го порядку
- •9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.
- •10. Проекція вектора на вісь.
- •11 Декартова система координат
- •Застосовуючи проекції маємо
- •За т.Піфагора маємо
- •14. Мішаний добуток трьох векторів.
- •15. Векторне і нормальне рівняння площини.
- •17. Кут між двома площинами.
- •19. Пряма в просторі
- •20. Кут між прямими в просторі. Умови належності двох прямих одній площині
- •21. Кут між прямою і площиною
- •22. Канонічне рівняння еліпса, його геометричні властивості.
- •23. Канонічне рівняння гіперболи, її геометричні властивості.
- •24. Канонічне рівняння параболи, її геометричні властивості.
- •25. Загальне рівняння кривої другого порядку.
- •26. Види матриць. Лінійні операції над матрицями.
- •27 Множення матриць
- •28 Елементарні перетворення матриць
- •32. Комплексні числа. Тригонометрична форма комплексного числа
- •33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра
- •34. Операції над многочленами.
- •35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера
- •37. Раціональні дроби
- •39. Вимірність і базис векторного простору. Перетворення координат при переході до нового базису.
- •40.Підпростори векторного простору
- •41.Афінний простір...
- •42.Ранг матриці.
- •49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.
- •50.Ортогональні перетворення.
- •51 Означення квадратичних форм(кф). Основні ознаки додатної визначеності.
- •52 Зведення кф до канонічного вигляду
- •53) Поняття множини. Рівність множин.
- •54) Операції над множинами.
- •55) Означення функції. Види відображень.
- •58. Аксіоми множин дійсних чисел
- •59. Розширення множини дійсних чисел
- •60. Основні характеристики дійсного числа.
- •61. Обмежені та необмежені числові множини.
- •62. Верхня та нижня межа множини.
- •63 Принцип Архімеда.
- •65) Еквівалентність множин та поняття потужності
- •66) Зчисленна потужність
- •67) Континуальна потужність
9.Лінійно-незалежні системи векторів. Базис, розклад вектора за базисом.
Лінійна комбінація векторів —це вектор=Система векторів лінійно-залежна, якщо існують скаляри не всі =0, такі що лін. Комбінація вектоів
,j=, Система векторів —лінйно-незалежна, якщо рівністьможлива лише тоді, коли всі
Властивості лін.-залежних і лін.-незалежних векторів:
1)Якщо сист. векторів лін.-залежна, то то принаймні 1 з векторів системи є лін. комбінацією інших. Доведення: Нехай лін.-залежна,тоді
є R., тоді.це лін. комбінація векторів
2)Якщо сист. векторів лін.- незалежна, то вона не містить , та жоден вектор системи не є лін. комб. інших векторів системи. Доведення:а) нехай система містить, тоді,.Отже, сист. лін.-залежна, що суперечить умові. в)—ø, тобто
Не є лін. комбінацією інших векторів.
Вектори компланарні-вектори, які лежать в 1 або паралельних площинах. ТЕОРЕМА:В множині всіх компланарних векторів будь-які 2 ненульові неколінеарні вектори є лінійно-незалежними, а будь-який 3-й вектор є лін. комбінацією цих векторів. Доведення: Нехай \,. Доведемо, щоі лін.-незалежні. Нехай і лін.-залежні, тоді а це суперечить умові. Отже, і лін- незалежні.
3)Розгл. 3 вектори ,і, зведені в 1 точці. Через кінецьпроведемо прямі паралельно і. =. В силу колінеарності відповідних векторів, маємо =, =. Тоді =+. Отже, є лінійною комб. і. Зауважимо, що такий розклад заіє однозначним.(Доведення: нехай є другий вектор =+)коорд. вектора , тобто ці вектори є рівними=>співпадає з . Ми дійшли до суперчності,-єдиний.
Множина всіх компланарних векторів з визначеними оперціями додавання векторів та множення на скаляр є прикладом веторного простору. Найбільша кількість лін-незалежних векторів простору назив. Його розмірністю, а сама система лін-незалежних векторів назив. Базисом простору.Множина всіх компланарних вкторів є векторним простором розмірності 2 і познач. . Базисскладаєтьсяз будь-яких 2 неколінеарних векторів. Якщо розглядати множину
Всіх векторів у стереометричному просторі, о доводиться ТЕОРЕМА:множині всіх компланарних векторів простору будь-які 3 нкомпланарні, ненульові, поарно неколінеарні вектори є лінійно-незалежними, а будь-який 4-й вектор є лін. комбінацією цих векторів .
10. Проекція вектора на вісь.
Числова вісь у просторі- пряма OS , на якій визначено напрямок, очаток відліку, одиничний відрізок. Вісь зручно задавати за допомогою орту. Розгл. Числову вісь:
O z
2)Якщо 3) 4)
Числова проекція на— проекція на вісь, що задається ..
Розглянемо вектори в просторі R3 , ортономований базис , . Вектори попарно ортогональні . Зведемо ці вектори до спільного почтку 0 та розташуємо їх так, щоб утворювали раву трійку.
Візьмемо будь-який вектор і відкладемо від т. О.Проведемо через т.А площини ІІ до Ох, Оу, Оz. Одержимо точки при перетині з осями. визначають числові проекції на осі координат. . =, =, =. X=,y=,z=Отже. Маємо розклад за ортами Декартової прямокутної системи координат. =хі+yj+zk=(x,y,z)
Введемо кути між і осями координат: , ,З властивостей 2 проекцій маємо:cos=;cosb=;cosj=(за означ. cos) За теор. Піфагора з мал. Маємо: . cos Ці cos кутів є коорд. орта: cos
Переформуємо в коорд. формі означення та лін. операціїнад векторами:
1) =(0;0;0) 2) =, =(x1;y1;z1), (x2;y2;z2)=>x1=x2, y1=y2,z1=z2; 3) =(x;y;z). 4) +-=(x1+-x2;y1+-y2;z1+-z2)
4) =, A(x1,y1,z1), B(x2;y2;z2); =(x2-x1;y2-y1;z2-z1