33. Дії над компл. Числами. Ф-ла Муавра

1)

2)

3)

4)

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Ф-ла Муавра:  

34. Операції над многочленами.

Многочленом однієї змінної х є С назив. Функція f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n де

А_і коефіцієнти, які є С(а_і є к) і=

Операції над многочленами

f(x)= a₀xⁿ+…+a_n

g(x)=b₀x^m+…+b_m n m

Сумою двох многочленів назив. Многочлен f(x)+g(x)=c₀xⁿ+…+c_n де c_i є сумою коефіцієнтів при

Х^n-I многочленів f(x) і g(x).

Добутком многочленів f(x) і g(x) назив многочлен f(x)g(x) коефіцієнти с_і якого є результатом перемноження таких коефіцієнтів многочленів f і g, що сума відповідних степенів змінної дорівнює n-і та додавання таких добутків. Операції додавання і множення комутативні, асоціативні і має місце дистрибутивність. (f(x)+g(x)q(x)=f(x)q(x)+g(x)q(x)

Протилежний многочлен до многочлена f(x) – це многочлен –f(x)=-a₀xⁿ-…-a_n

Оберенений многочлен визначаєтьсялише для многочленів 0-го степеня

f^-1(x):=f(x)f^-1(x)=1 Введемо операцію ділення многочленів з остачею.

Теорема. Для будь-яких многочленів f(x) і g(x)  q(x), r(x) такі що f(x)=g(x)q(x)+r(x) причому степінь r(x)менший за степінь g(x), або r(x)=0

Доведення методом ділення куточком(Кравець казала)

Многочлен (x) назив. Дільником многочлена f(x) якщо  (x) такий,що f(x)=(x)(x)

Властивості подільності многочленів

1) f(x)(x) та (x)r(x)f(x)r(x)

2) f(x)(x) і g(x)(x)(f(x)g(x))(x)

3) f(x)(x)f(x)g(x) )(x)

4) будь-який многочлен f(x) на будь-який ненульовий многочленнульового степеня

5) Многочлени f(x) і g(x) діляться один на одний тоді і тільки тоді, коли f(x)=cg(x) cєC, c0

Найбільшим спільним дільником многочленів f(x) і g(x) відмінним від 0 назив. Такий многочлен

d(x) який є дільником кожного з них та сам ділиться на будь-який інший спільний дільник цих многочленів НСД(f(x),g(x))=d(x)

Для знаходж НСД використ. Алгоритм Евкліда

1. f(x)=g(x)q₁(x)+r₁(x)

2. g(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x)

3. r₁(x)=r₂(x)q₃(x)+r₃(x)

……………………………..

(4)r_k-2(x)=r_k-1(x)q_k(x)+r_k(x)

(5)r_k-1(x)=r_k(x)q_k+1(x)

d(x)=НСД(f(x),g(x))=r_k(x)

Доведення

(5)r_k-1r_k

(4)r_k-2r_k

………………….

(3)r₁r_k

(2)gr_k

(1)fr_k

Звідси r_k спільний дільник f і g

Нехай (x) спільний дільник f і g. Доведемо, що r_k(x)(x)

(1)f,gr₁

…………………….

(4)r_k-2,r_k-1r_k

Наслідок. Якщо f і g мають дійсні коефіцієнти,то їх НСД теж буде мати дійснікоефіцієнти

Зауваження. В силу власт. 5 дільників многочленів маємо, що НСД визначений з тосністю до многочлена 0-го степеня, тому можна вважати, що старший коефіцієнт НСД дорівнює 1

Многочлени f і g назив взаємнопростими, якщо їх НСД дорівнює 1

Теорема. Якщо d(x)=НСД(f(x),g(x)), то  u(x),v(x), що виконується f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)

Причому якщо степені f і g>0 то степінь u(x) менший степені g(x), а степінь v(x) менший степені f(x). Доведення спирається на алгоритм Евкліда(знизу вверх)

35. Корені многочленів. Теорема Безу. Метод Горнера

Нулем, або коренем многочлена назив. Число сєС таке,що f(c)=0

Теорема Безу

При діленні многочлена f(x) на двочлен (x-c) одержується остача f(c)

Доведення

f(x)=(x-c)q(x)+r, r многочлен 0-го степеня

x=c

f(c)=r

Наслідок. Якщо є коренем f(x), то f(x) ділиться на (x-c), тобто

(1)f(x)=(x-c)q(x)

Для ділення f(x) на (x-c) зручно використ. Схему Горнера

Нехай f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n

q(x)=b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-1

Підставимо f(x) і g(x) в (1) та прирівняємо коефіцієнти при однакових коренях x

xⁿ a₀=b₀b₀=a₀

x^n-1 a₁=b₁-cb₀b₁=cb₀+a₁

x^n-2

…

x₀ b₀=a₀ b_k=cb_k-1+a_k k=1,n-1

r=cb_n-1+a_n(якщо є остача)

Корінь c многочлена f(x) назив коренем кратності k, якщо f(x)(x-c)^k, але не ділиться на (x-c)^k+1

f(x)=(x-c)^kq(x)

Теорема. Якщо число с є коренем кратності k многочлена f(x) то при k>1 воно буде (k-1)кратним коернем многочлена f^’(x)

36.Основна теорема алгебри. Будь-який мнч з б-якими числовими коеф, степінь якого не меше одиниці має хоча б один корінь—у заг випадку комплексни.

Наслідок1: б-який мнч n-го степеня розкладається на n лінфйних множників та множник рівний старшому коеф

f(x)=(x-)(x-)*…*(x-)

Наслідок2 мнч n-го степеня не може мати більше n коренів

Наслідок3 f(x) (cтепеня більше один) має рівно ен коренів, якщо кожен корінь взятий стільки разів, скільки його кратність, тобто

аf(x)=a0 (x-1)(x-2)*…*(x-n)

ki належить N. k1+k2+…+ks=n;

Наслідок 4Якщо мнч тотожно рівний нулю , то всі його коеф рівні нулю

Насл 5 Якщо f(x)g(x)то коеф f(x) відповідно рівні коеф g(x)

ai=bi, i=

f(x)-g(x) 0

a0-b0, a0=b0; і тд

Розглянемо f(x) з дійсними коеф.

Теорема Якщо мнч f(x) з дійсними коеф має корінь (a+ib), то він має корінь (a-ib)

f(a+ib)=0;

f(a+ib)=M+iN, N,M=0;

f(a-ib)=M-iN=0 ==> f(a-ib)=0;

Отже в розкладі f(x) на множники зустрічаються такі множники (x-a-ib), (x-a+ib)

(x-a-ib)(x-a+ib)=(x-a)(x-a)+b*b=x*x+px+q; D<0;

Теорема Будь-який мнч з дійсними коеф однозначно представляється у вигляді доб ст коеф , декількох лін мн (x-альфа), що відп його дійсн кореням та квадратичним, що відп його комплексним кореням

f(x)=a0 (x-1)(x-2)*…*(x-n) (x*x+p1x+q1)(x*x+p2x+q2)*…*(x*x+prx+qr))

k1+k2+…+ks+2l1+2l2+…+2lr=n;

(x-фльфа) , (x*x+px+q)—незвідні множники

Дробово-раціональною ф-кцією (рац дробом) наз частка дфох мнч

g(x) не дор нулю

Якщо степінь знаменника більше(менше)Ю ніж степінь чисельника, то дріб—правильний(непр)

Дріб наз нескоротним, якщо чис і знам –взаємнопрості

Теорема Б-який рац дрію можна представити у вигляді мнч і правильного дробу

f(x)=g(x)*q(x)+r(x);

=q(x)+ степіні ер менше за степінь дж-за властивістю дільника та остачі

Озн—Правильний дріб наз елементарним, якщо знаменник—степінь незвідного мнч

Тобто, це дроби виду

A-число

Теорема Б-який рац прав дріб можна однозначно представити у вигляді суми елементарних дробів