14. Мішаний добуток трьох векторів.

Мішаним (векторноскалярним) добутком векторів ,,.назив. число вигляду

=()

Властивості мішаного добутку

1) ()=()=()=()

2) =0 =0 або=0 або=0 або ,, - компланарні

3) Модуль мішаного добутку векторів дорівнює об'єму паралелепіпеда побудованого на цих векторах.

=Vпар.

=) ()=Sосн. h=V

||=Sпар. Звідси h=

Об'єм тетраедра побуд.на ,,

Vтетр.=

Координатна форма мішаного добутку

=(x₁+y₁+z₁)

=(x₂+y₂+z₂)

=(x₃+y₃+z₃)

x₁ y₁ z₁

=()= x₂ y₂ z₂

x₃ y₃ z₃

ознака компланарності 3 векторів

три ненульові вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх добуток дорівнює нулю.

15. Векторне і нормальне рівняння площини.

оси и вектора подпишите сами!!!

Обираємо в сист. координат т.Р; радіус-вектор ОР=р; складемо р-ня площини, що проходить через т.Р ┴о до р цієї точки. Рє(π), р┴(π). Візьмемо т.М, Мє(π)-поточна точка. r=OM – радіус-вектор т.М. РМ=r-р; РМ┴р; ↔РМ*р=0; (r-p)p=0;(1)- векторне р-ня площини. Перейдемо в р-ні(1) до координатної форми р=│р│*е_р; │р│=р>0; е_р=n – орт нормалі до площини. n=(cosα;cosβ;cosγ); M(x;y;z); r=(x;y;z);

p(cosα;cosβ;cosγ)*(x- cosα; y-cosβ; z-cosγ)=0;

xcosα+ycosβ+zcosγ-pcos²α-pcos²β-pcos²γ=0;

xcosα+ycosβ+zcosγ-p*1=0;

p= xcosα+ycosβ+zcosγ (2) – нормальне р-ня площини, де n=(cosα;cosβ;cosγ)-орт нормалі до площини, р- відстань площини від початку координат.

16. Загальне рівняння площини.Відстань та відхилення точки від площини

Загальним р-ням площини в R₃ назив. лінійне р-ня вигляду:

(3) Ax+By+Cz+D=0, де A,B,C,DєR, A²+B²+C^2≠0. Покажемо, що р-ня (3) можна звести до (2) і навпаки. Домножимо (2) на р:

(2) ↔ xрcosα+yрcosβ+zрcosγ-p²=0. Позначимо A=рcosα,B=рcosβ,C=рcosγ,D=-p² Отже отримуємо р-ня(3), де N=(A;B;C)-вектор нормалі до площини π.

Для того, щоб (3) звести до (2), домножимо (3) на нормувальний множник μ

μAx+ μBy+ μCz+ μD=0 μ визначається з умов:μA=cosα, μB=cosβ, μC=cosγ,Dμ<0.

звідки μ²(А²+В²+С²)=1;→ μ=±1/(знак вибирається протилежним знакуD) Отже, маємо р-ня площини у вигляді:, яке і є р-ням (2).

Висновок: будь-яке лінійне р-ня вигляду (3) можна звести до р-ня (3), яке є нормальним р-ням площини, і навпаки, якщо в просторі R₃ задана довільна площина і фіксована довільна Декартові сист. координат Охуz, то площина визначається в цій системі лінійним р-ням.

Відстань та відхилення від площини.

Нехай задана площина(π) і т., що не лежить на цій площині.

(π): xcosα+ycosβ+zcosγ-p=0; М₀(x₀;y₀;z₀) не є(π). Спроектуємо ОМ₀ на вісь, задану n.

OQ= пр _nОМ_0; OP=пр _nOP=p; Відхиленням т. М₀ від (π) назив. різниця проекцій:

δ= пр _nОМ_0; - пр _nOP= OQ –p;

пр _nОМ₀= ОМ₀* n= xcosα+ycosβ+zcosγ-p.

Отже, маємо:δ= xcosα+ycosβ+zcosγ-p

δ=0 - М₀є(π); δ>0 – М₀ і О по різні боки від (π); δ <0 – по один бік.

Відстань точки від площини =:

d=│ δ │=│ xcosα+ycosβ+zcosγ-p│=││

Чачтинні випадки загального р-ня:

1) D=0 – площина прох. через початок координат( через т.(0;0;0))

2)А=0, В,С≠0, Ву+Сz+D=0 –площ. паралельна Ох.

3)А=В=0, Сz+D=0 – площ. паралельна Оху і т.д.

17. Кут між двома площинами.

Нехай дано дві площини, які визначаються загальними рівняннями:

A_1x+B_1y+C_1z+D₁=0 , A_2x+B_2y+C_2z+D₂=0

Розглянемо вектори нормалей до кожної з площин:

n₁= ,n= .

(1)Кут 0 між площинами визначаеться кутом 0 між векторами n₁ i n₂ . Отже, справджуеться рівність:

Cos=(A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂) / ( * )

(2)Умова перпендикулярності площин така:

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0

(3)Умова паралельності площин:

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂

(4)Дві площини збігаються, якщо виконується рівність:

A₁/A₂=B₁/B₂=С₁/С₂=D₁/D₂

У разі виконання умови (4) рівняння однієї площини можна дістати з рівняння іншої площини множенням на сталий множник.

Нехай дано три площини:

A_kx+B_ky+C_kz+D_k=0 (k=1,2,3)

Вони перетинаються в одній точці у тому і тільки у тому разі, коли:

Якщо визначник дорівнює нулю, то площини можуть мати спільну пряму, коли система рівнянь(5) має нескінченну множину розв’язків, або не мати жодної спільної точки, коли система(5) не має розв’язків.

18. Пряма на площині.(а)

Кут між прямими

А)

Векторне рівняння прямої на площині

- напрямний вектор прямої

t-параметр

М₀L , ML , ||L , OM₀= _, =,||,=t*,=-,

t,=+t*,

Векторне рівняння прямої що проходить через точку радіус вектор якої

,паралельно вектору .

Параметричне рівняння прямої

М₀(х₀,у₀), =(l,m), M(x,y)

x*+y*=x₀*+y₀*+t(l*+m*)

t є R

Канонічне рівняння прямої

(x-x₀)/l=(y-y₀)/m

l²+m²0

якщо l=0

(x-x₀)*m=0 =>x=x₀

Рівняння прямої що проходить через 2 задані точки

М₁(х₁,у)

М₂(х₂,у₂)

М(х,у)

(х-х₁)/(х₂-х₁)=(у-у₁)/(у₂-у₁)

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом

=(l,m)

tg=m/l=k y-y₀=m/l(x-x₀) =>

=> y=kx+b

Загальне рівняння прямої

M₀(x₀,y₀) (A,B)

L ; M₀єL ; M(x,y) , *=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)=0

Ax+By-Ax₀-By₀=0

(-Ax₀-By₀)=C

Ax+By+C=0

Б)

Розглянемо дві прямі, які задано рівняннями:

y = k₁x + b₁ , y = k₁x + b₁ (1).

якщо прямі паралельні, то вони мають однакові кути нахилу

дві прямі збігаються, якщо: k₁ = k₂ , b₁ = b_{2 .}

якщо прямі взаємно перпендикулярні, то: ₁=₂+ /2i

k₂=tg₂=tg(₁+ /2)=-ctg₁=-1/tg₁=-1/k₁

рівність:

k₂=-1/k₁

є умовою перпендикулярності двох прямих

якщо прямі паралельні, то вони перетинаються в точці , координати якої є розв’язком системи рівнянь:

y=k₁x+b,

y=k₂x+b₂

нехай - кут між цими прямими : (рис.1)

згідно з рис.1 маємо: ₂ =₂ + (зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів,не суміжних з ним). Отже,

tg =tg(₂-₁)=(tg₂ – tg₁)/(1+tg₂*tg₂)=(k₂-k₁)/(1+k₂k₁)

формулу:

tg=(k₂-k₁)/(1+k₂k₁)

застосовують для знаходження кута між двома прямими, заданими рівняннями виду (1).