42.Ранг матриці.

Нехай є матр. А mxn . Будемо розглядати рядки матр. як n-вимірні вектори простору Rn, а стовпці – як m-вимірні вектори простору Rm. Можна вивчати лінійну залежність і незал. рядків або стовпців матр. А.

Мінором і-го порядку матр. А назив. визначник і-го порядку з елементами, розміщеними на перетині будь-яких і-рядків та і-стовпців матр. А.

Рангом матр. А наз. максимальний порядок відмінних від нуля мінорів матриці і позн. r(A) або rang(A); r(θ) = 0; 0≤r(A)≤min{m,n}

Будь-який мінор, що≠0 порядку r(A) назив. базисном мінором, а стовпці і рядки, в яких він розміщ., назив. базисними.

Теорема:Базисні стовпці(рядки) матриці лінійно незалежні та будь-який стовпець(рядок) є лін. комбінацією базисних стовпців(рядків).

Висновок1:вимірність підпростору, породженого деякою сист. векторів = рангу матриці, складеної з коорд. цих векторів відносно деякого базису.

Висн.2: Максим. к-сть лін. незалежних стовпців(рядків) матриці = рангу матриці

Теорема: Для того, щоб визначник матр. А порядку n=0, необх. і достатньо, щоб його стовпці(рядки) були ліню залежними.

Для знах. рангу матриці зручно звести її елементарн. перетвор. з рядками до так званої ступінчастої матриці. Ця матриця має таку будову: 1)ненульові рядки розм. вище нульових,2)кожний провідний елемент, який є першим ненульовим елем. в своєму рядку(рахуючи зліва направо)=1, 3)кожний провідн. елемент розміщ. праворуч від провідного елем. попереднього рядка. G-ступінчаста матриця. G=LA, L-добуток елементарних матриць. r(G)= r(LA)= r(A)

Теорема: Для mxn матр. А рангу r існують такі невироджені матриці L і M порядків m і nвідповідно, що LAM=

Теорема: Ранг добутку двох матриць не перевищує рангу кожного з множників r(АВ)≤r(A); r(АВ)≤r(В). Д-ня: розглянемо блокову матрицю (АВ А) : r(АВ)≤r(AВ А)≤r(А), де АВ-лін. комбінація стовпців матр. А.

Наслідок: множення матриці на невиродж. матр. не змінює її ранг. Д-ня:

r(А)=r(AВВ^-1)≤r(АВ)≤r(A) => r(А)=r(AВ), В-невиродж.

44 Неоднорідні системи лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі

Розглянемо неоднорідну СЛР Ах=b, b≠0.

Теорема Кронекера-Капеллі

Для того, щоб НСЛР була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці системи= рангу розширеної матриці системи. Тобто r(A)=r(A_b), де A_b-розширена матриця системи. Доведення

r(A)=r(A_b) <=> b – лінійна комбінація стовбців А, тобто коефіцієнт цієї лінійної комбінації і є розв. с-ми .

Теорема (про структуру заг. розв. НСЛР)

Загальний розв’язок НСЛР=сумі загального розв’язку ОСЛР та окремого розв’язку НСЛР.

Доведення

Х – загальний розв’язок ОСЛР, f₀ - розв’язок НСЛР. (х+ f₀) – загальний розв’язок НСЛР. А(х+ f₀)=Ах+А f₀=0+b= b. х+ f₀ - розв’язок НСЛР, що і треба було довести

49.Ортонормовані базиси і ортогональні матриці.

Означення::

Ортогональною матрицею називають таку квадратну матрицю А, при А^-1=А^Т;

Тобто в силу невиродженості А, та єдності А^-1 маємо А^-1*А=Е => А^-1=А^Т.

Крім того :: А^-1*А= Е => АА^Т=Е

Властивості::

1.Матриця є ортогональною тоді, і тільки тоді, коли її стовпці(рядки) утворюють ортонормовану систему векторів.

Доведення. Теорема1 є наслідком рівності АА^Т=Е для рядків, А^ТА=Е для стовпців.

2.Добуток двох ортогональних матриць є ортогональним. Модуль визначника ортогональної матриці =1.

Або :: визначник ортогональної матриці = ±1

------------------------------------

Означення:: Якщо всі вектори а₁, а₂,…, а_n ортогональної системи є одиничними, то ця система векторів називається ортонормованою.

Система одиничних векторів

1 0 0

e₁=0 , e₂=1 , e_m=0 , - є ортонормованою, оскільки

… … …

0 0 1

|e_i|=1,(e_i,e_j)=0 (i,j=1,2,…,m; i≠j).

Довжину |a| вектора а можна подати через скалярний добуток::

|a|²=(a,a)=a₁²+a₂²+…+a_m².

Якщо два вектори а та b взаємно ортогональні, то

|a+b|²=|a|²+|b|²

Ця рівність називається теоремою Піфагора.

Отже, |a+b|²=(а+b, a+b)=(a,a)+2(a,b)+(b,b)=|a|²+|b|²