63 Принцип Архімеда.

Т. Для б-якого a існуєn натуральне(n>0). Дов(від супротиіного). Нехай обмежена зверху. Скористаємося означеннямsup . Виберемо --суперечність.

Наслідок— принцип Архімеда: Для . Для доведення в Т. Взяти замість а—b/a.

№64. Принцип вкладених відрізків

Озн 1: Сист числ відр [a1,b1], [a2,b2]… [an,bn],наз сист вкладених відрізків(СВВ), якщо a1<=a2<=…<=an<=bn<=…<=b2<=b1, тобто [an,bn]n+1;bn+1],

Теорема. Б-яка СВВ має непор переріз .

A={an, n N}—множина лівих кінц відр

B={bn, nN}—правих

Для б-якого нат m,n з озн СВВ вик am<=bn. За аксіомою непервності множ дійсних чтсел

. нал всім відр, тому їх переріз непорожній.

Озн Сист відр [an;bn] , n—натуральне, називається системою стяжних відрізків, якщо довжини цих відрізків (bn-an)0, коли.

Принцип вкладених відрізків. Для б-якої СВВ існ єдина точка , що нал всім відр сиситеми, при чому Дов :З теореми випливає, що переріз всіх відр непорохній. Доведемо, що цей переріз скл з єдиної точки (від супротивного).

Нехай, . За означенням стяжних відрвик (bn-an)< . Виберемо =, тоді маємо співвідн --суперечність. Отже --єдина.

Зауваження an<=sup{an}<=<=inf{bn}<=bn, для б-якогог нат n. В силу єдиності маємо sup{an}=inf{bn}=.

Якщо замість відр розгл інтервали або пііввідрізки, то заданий принцмп не має місця пуста множин

65) Еквівалентність множин та поняття потужності

Озн: множини А і В називаються еквівалентними, якщо існує бієктивне відображення з А в В ( f:AB)

Позн: А~B

Властивості еквівалентних множин

1. A~A (рефлективність)

2. A~B => B~A (симетричність)

3. A~BB~C => A~C (транзитність)

4. Ai~Bi , iL , AiAj =, BiBj0 , ij => UAi~Ubi

Спитаючись на властивість еквівалентності множин можна розподілити всі множини по класам еквівалентності. Такі різні класи не перетинаються між собою.

Множини одного класу еквівалентності називаються рівнопотужними. Кожній множині з класу еквівалентності приписують число, що називається потужністю і позначається (A) , де А – представник класу еквівалентності.

Озн: Множина А називається скінченною, якщо n N| , що А ~{1,2,…,n} причому n називається числом елементів множини А.

Порожня множина – скінченна, а ()=0

Теорема: 2 скінченні множини еквівалентні ( рівні) тоді і тільки тоді, коли вони мають однакову кількість елементів.

Озн: Якщо множина не є скінченною , то вона називається нескінченною.

Приклад: множина парних натуральних чисел рівнопотужна множині натуральних чисел.

Між елементами існує бієкція

1. f2n , nN|

2. множина цілих чисел рівнопотужна множині цілих чисел Z~N 2nn, n=1,2,… 2n+1-n , n=0,1,2…

3. будь-які 2 скінченні інтервали ( відрізки) рівнопотужні [a,b]~[c,d] , a,b,c,dR , a<b , c<d (x-a)/(b-a)=(y-c)/(d-c) ; y= c+ (d-c)(x-a)/(b-a)

4. множина дійсних чисел рівнопотужна будьякому скінченному інтервалу R~(a,b) з приклада 3 (a,b)~(c,d)~(0,1) встановимо бієкцію між (0,1) і R f: (0,1)->R f(x)=ctgПx

5. xR f:N->X f(n)=xnX , кажуть , що задана числова послідовність, причому xn- центральний член послідовності, який набуває значення з множини Х. {xn,nN} Послідовність еквівалентна N,тобто нескінченна,а значення,які набувають члени послідовності можуть складати скінченну множину (Х-скінченна)

Правила порівняння потужностей

1) (А)=(В) <=>A~B

2) (А)< (B)(A не~B)^( C<B,C~A)

3) (A)< (B) => (B)> (A)

4) (A) (B) ((A)< (B))( (A)= (B))